Страница 28 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция

1. Найдите значение выражения:

1) $7(\sqrt{2}-1)^2 \cdot 7^{2\sqrt{2}}$

2) $10^{\sqrt{32}} : 1000^{\sqrt{2}}$

3) $((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}}$

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{2}}-6)(a^{\sqrt{2}}+6)-(a^{\sqrt{2}}-1)^2$

2) $\frac{a^{2\sqrt{3}}-2a^{\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{3}}-4}$

3. Сравните значения выражений:

1) $0,7^6$ и $0,7^{11}$

2) $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $1$

3) $(\sqrt{7}-1)^{-7,2}$ и $(\sqrt{7}-1)^{-7,3}$

4) $(\sqrt{2}-1)^{-1,8}$ и $(\sqrt{2}+1)^{1,7}$

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -9x$

2) $y = (\frac{1}{9})^x - 4$

3) $y = 9^{|x|}$

4) $y = (\frac{1}{8})^{|\cos x|} - 3$

5. Постройте график функции:

1) $y = 3^x + 2$

2) $y = |(\frac{1}{2})^x - 1|$

6. Решите неравенство: $5^{|x|+1} > 4\cos x + 1$

1)Для нахождения значения выражения используем свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$7^{(\sqrt{2}-1)^2} \cdot 7^{2\sqrt{2}} = 7^{(\sqrt{2})^2 - 2\cdot\sqrt{2}\cdot1 + 1^2} \cdot 7^{2\sqrt{2}} = 7^{2 - 2\sqrt{2} + 1} \cdot 7^{2\sqrt{2}} = 7^{3 - 2\sqrt{2}} \cdot 7^{2\sqrt{2}} = 7^{3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}} = 7^3 = 343$.
Ответ: 343.

2)Для нахождения значения выражения приведем все степени к одному основанию 10 и используем свойства степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
$10^{\sqrt{32}} : 1000^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{16 \cdot 2}} : (10^3)^{\sqrt{2}} = 10^{4\sqrt{2}} : 10^{3\sqrt{2}} = 10^{4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $10^{\sqrt{2}}$.

3)Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
$((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}} = ((2^{1/5})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}} = 2^{\frac{1}{5} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = 2^{\frac{1}{5} \cdot 15} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8.

1)Раскроем скобки, используя формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6) - (a^{\sqrt{2}} - 1)^2 = ((a^{\sqrt{2}})^2 - 6^2) - ((a^{\sqrt{2}})^2 - 2 \cdot a^{\sqrt{2}} \cdot 1 + 1^2) = (a^{2\sqrt{2}} - 36) - (a^{2\sqrt{2}} - 2a^{\sqrt{2}} + 1) = a^{2\sqrt{2}} - 36 - a^{2\sqrt{2}} + 2a^{\sqrt{2}} - 1 = 2a^{\sqrt{2}} - 37$.
Ответ: $2a^{\sqrt{2}} - 37$.

2)Для упрощения выражения разложим числитель и знаменатель на множители. В знаменателе используем формулу разности квадратов.
$\frac{a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{3}} - 4} = \frac{a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} - 2)}{(a^{\sqrt{3}})^2 - 2^2} = \frac{a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} - 2)}{(a^{\sqrt{3}} - 2)(a^{\sqrt{3}} + 2)} = \frac{a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + 2}$.
Ответ: $\frac{a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + 2}$.

1)Сравниваем $0,7^6$ и $0,7^{11}$.
Так как основание степени $a=0,7$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,7^x$ является убывающей.
Поскольку показатели степеней соотносятся как $6 < 11$, то для значений функции будет выполняться обратное неравенство: $0,7^6 > 0,7^{11}$.
Ответ: $0,7^6 > 0,7^{11}$.

2)Сравниваем $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $1$.
Представим $1$ в виде степени с основанием 0,36: $1 = 0,36^0$.
Так как основание $a=0,36$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,36^x$ является убывающей.
Сравним показатели: $-\sqrt{5} < 0$.
Так как функция убывающая, знак неравенства для значений функции меняется на противоположный: $0,36^{-\sqrt{5}} > 0,36^0$.
Следовательно, $0,36^{-\sqrt{5}} > 1$.
Ответ: $0,36^{-\sqrt{5}} > 1$.

3)Сравниваем $(\sqrt{7}-1)^{-7,2}$ и $(\sqrt{7}-1)^{-7,3}$.
Оценим основание $a=\sqrt{7}-1$. Так как $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$, откуда $1 < \sqrt{7}-1 < 2$.
Основание $a > 1$, следовательно, показательная функция $y=(\sqrt{7}-1)^x$ является возрастающей.
Сравним показатели: $-7,2 > -7,3$.
Так как функция возрастающая, знак неравенства для значений функции сохраняется: $(\sqrt{7}-1)^{-7,2} > (\sqrt{7}-1)^{-7,3}$.
Ответ: $(\sqrt{7}-1)^{-7,2} > (\sqrt{7}-1)^{-7,3}$.

4)Сравниваем $(\sqrt{2}-1)^{-1,8}$ и $(\sqrt{2}+1)^{1,7}$.
Преобразуем основание первого выражения: $\sqrt{2}-1 = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1} = \frac{2-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}+1)^{-1}$.
Тогда первое выражение равно $((\sqrt{2}+1)^{-1})^{-1,8} = (\sqrt{2}+1)^{(-1) \cdot (-1,8)} = (\sqrt{2}+1)^{1,8}$.
Теперь сравнение сводится к сравнению $(\sqrt{2}+1)^{1,8}$ и $(\sqrt{2}+1)^{1,7}$.
Основание $a=\sqrt{2}+1 > 1$, поэтому функция $y=(\sqrt{2}+1)^x$ является возрастающей.
Так как $1,8 > 1,7$, то $(\sqrt{2}+1)^{1,8} > (\sqrt{2}+1)^{1,7}$.
Следовательно, $(\sqrt{2}-1)^{-1,8} > (\sqrt{2}+1)^{1,7}$.
Ответ: $(\sqrt{2}-1)^{-1,8} > (\sqrt{2}+1)^{1,7}$.

1)Функция $y = -9x$. В контексте темы "Показательная функция", вероятно, имеется в виду функция $y = -9^x$.
Область значений показательной функции $f(x) = 9^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.
Функция $y = -9^x = -f(x)$ получается из $f(x)$ отражением относительно оси Ox.
Следовательно, область значений для $y=-9^x$ будет $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2)Функция $y = (\frac{1}{9})^x - 4$.
Область значений показательной функции $f(x) = (\frac{1}{9})^x$ есть $(0; +\infty)$, то есть $(\frac{1}{9})^x > 0$ для любого $x$.
Функция $y$ получена сдвигом графика $f(x)$ на 4 единицы вниз по оси Oy.
Следовательно, $(\frac{1}{9})^x - 4 > 0 - 4$, то есть $y > -4$.
Область значений функции: $(-4; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (-4; +\infty)$.

3)Функция $y = 9^{|x|}$.
Поскольку $|x| \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то показатель степени принимает значения из промежутка $[0; +\infty)$.
Функция $f(t) = 9^t$ является возрастающей, так как основание $9 > 1$.
Наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении показателя, то есть при $|x|=0$. $y_{min} = 9^0 = 1$.
При $|x| \to +\infty$, значение $y \to +\infty$.
Область значений функции: $[1; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

4)Функция $y = (\frac{1}{8})^{|\cos x|} - 3$.
Область значений функции $\cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$.
Следовательно, область значений для показателя $|\cos x|$ есть отрезок $[0; 1]$.
Пусть $t = |\cos x|$, тогда $0 \le t \le 1$.
Рассмотрим функцию $f(t) = (\frac{1}{8})^t$ на отрезке $[0; 1]$. Так как основание $\frac{1}{8} < 1$, эта функция является убывающей.
Следовательно, ее наибольшее значение достигается при $t=0$: $f(0) = (\frac{1}{8})^0 = 1$.
Ее наименьшее значение достигается при $t=1$: $f(1) = (\frac{1}{8})^1 = \frac{1}{8}$.
Значит, область значений для выражения $(\frac{1}{8})^{|\cos x|}$ есть $[\frac{1}{8}; 1]$.
Тогда область значений для $y = (\frac{1}{8})^{|\cos x|} - 3$ получается вычитанием 3 из границ этого отрезка: $[\frac{1}{8} - 3; 1 - 3] = [-\frac{23}{8}; -2]$.
Ответ: $E(y) = [-23/8; -2]$.

1)Для построения графика функции $y = 3^x + 2$ выполним следующие шаги:
1. Построим график основной показательной функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точки $(-1; 1/3)$, $(0; 1)$, $(1; 3)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).
2. Сдвинем график $y_0 = 3^x$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Все точки графика, включая асимптоту, смещаются на 2.
3. Новые контрольные точки: $(-1; 7/3)$, $(0; 3)$, $(1; 5)$.
4. Новая горизонтальная асимптота: прямая $y=2$.
Полученный график — это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0; 3)$ и неограниченно приближается к прямой $y=2$ при $x \to -\infty$.
Ответ: График функции $y = 3^x + 2$ получается из графика $y = 3^x$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2)Для построения графика функции $y = |(\frac{1}{2})^x - 1|$ выполним следующие шаги:
1. Построим график функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(-1; 2)$, $(0; 1)$, $(1; 1/2)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$ при $x \to +\infty$.
2. Построим график $y_2 = (\frac{1}{2})^x - 1$, сдвинув график $y_1$ на 1 единицу вниз. Контрольные точки: $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; -1/2)$. Горизонтальная асимптота смещается к $y=-1$.
3. Построим итоговый график $y = |y_2| = |(\frac{1}{2})^x - 1|$. Часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox ($y_2 < 0$), симметрично отражаем относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox ($y_2 \ge 0$), оставляем без изменений.
Итоговый график имеет "излом" в точке $(0;0)$, убывает при $x<0$ от $+\infty$ до 0, и возрастает при $x>0$ от 0, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=1$.
Ответ: График функции $y = |(\frac{1}{2})^x - 1|$ получается из графика $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 1 единицу вниз, с последующим симметричным отражением отрицательной части графика относительно оси Ox.

Решим неравенство $5^{|x|+1} > 4\cos x + 1$ методом оценки.
Рассмотрим левую часть $f(x) = 5^{|x|+1}$.
Так как $|x| \ge 0$, то показатель степени $|x|+1 \ge 1$.
Поскольку основание $5 > 1$, функция $y=5^t$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение $f(x)$ равно $5^1 = 5$ и достигается при $x=0$. Таким образом, $f(x) \ge 5$ для всех $x$.
Рассмотрим правую часть $g(x) = 4\cos x + 1$.
Область значений функции $\cos x$ есть $[-1; 1]$, поэтому $-1 \le \cos x \le 1$. Отсюда $-4 \le 4\cos x \le 4$, и $-3 \le 4\cos x + 1 \le 5$. Таким образом, $g(x) \le 5$ для всех $x$.
Наше неравенство имеет вид $f(x) > g(x)$.
Мы установили, что $f(x) \ge 5$ и $g(x) \le 5$.
Рассмотрим случай равенства: $f(x) = 5$ только при $x=0$. В этой точке $g(0) = 4\cos(0) + 1 = 5$.
При $x=0$ неравенство $5 > 5$ является ложным, значит $x=0$ не является решением.
Для любого $x \neq 0$, имеем $|x| > 0$, следовательно $|x|+1 > 1$, а значит $f(x) = 5^{|x|+1} > 5$.
Поскольку $g(x) \le 5$ для всех $x$, то для любого $x \neq 0$ выполняется $f(x) > 5 \ge g(x)$, из чего следует, что $f(x) > g(x)$.
Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7};$

2) $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$

3) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0;$

4) $3^{-\cos 2x} + 3^{\sin^2 x} - 6 = 0;$

5) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0;$

6) $3^x = 30 - x.$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $49^x - (a + 5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$ имеет один действительный корень?

1) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(\frac{5}{3})^{x-4} = ((\frac{5}{3})^{-2})^{x-7}$
$(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{5}{3})^{-2(x-7)}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x-4 = -2(x-7)$
$x-4 = -2x + 14$
$x + 2x = 14 + 4$
$3x = 18$
$x = 6$
Ответ: $6$.

2) $6x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$
Предположим, что в условии задачи опечатка, и первый член должен быть $6^x$. Тогда уравнение принимает вид: $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$.
Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:
$6^x - 5 \cdot \frac{6^x}{6^2} = 186$
$6^x - 5 \cdot \frac{6^x}{36} = 186$
Вынесем $6^x$ за скобку:
$6^x(1 - \frac{5}{36}) = 186$
$6^x(\frac{36 - 5}{36}) = 186$
$6^x \cdot \frac{31}{36} = 186$
$6^x = \frac{186 \cdot 36}{31}$
Поскольку $186 : 31 = 6$, получаем:
$6^x = 6 \cdot 36$
$6^x = 6 \cdot 6^2$
$6^x = 6^3$
$x = 3$
Ответ: $3$.

3) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $11^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 11^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 12t + 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $12$, а их произведение равно $11$. Легко подобрать корни:
$t_1 = 1$, $t_2 = 11$.
Оба корня удовлетворяют условию $t>0$. Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $11^x = t_1 = 1 \implies 11^x = 11^0 \implies x = 0$.
2) $11^x = t_2 = 11 \implies 11^x = 11^1 \implies x = 1$.
Ответ: $0; 1$.

4) $3 - \cos(2x) + 3\sin^2(x) - 6 = 0$
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.
$3 - (1 - 2\sin^2(x)) + 3\sin^2(x) - 6 = 0$
$3 - 1 + 2\sin^2(x) + 3\sin^2(x) - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5\sin^2(x) - 4 = 0$
$5\sin^2(x) = 4$
$\sin^2(x) = \frac{4}{5}$
Теперь используем формулу понижения степени: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{4}{5}$
$1 - \cos(2x) = \frac{8}{5}$
$\cos(2x) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$
Решением этого уравнения являются:
$2x = \pm\arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm\frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pm\frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0$
Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $81^x$ (это возможно, так как $81^x > 0$ при любом $x$).
$3 \cdot \frac{16^x}{81^x} + \frac{36^x}{81^x} - 2 \cdot \frac{81^x}{81^x} = 0$
$3 \cdot (\frac{16}{81})^x + (\frac{36}{81})^x - 2 = 0$
Упростим основания степеней: $\frac{16}{81} = (\frac{4}{9})^2$ и $\frac{36}{81} = \frac{4}{9}$.
$3 \cdot ((\frac{4}{9})^2)^x + (\frac{4}{9})^x - 2 = 0$
$3 \cdot (\frac{4}{9})^{2x} + (\frac{4}{9})^x - 2 = 0$
Сделаем замену $t = (\frac{4}{9})^x$, где $t > 0$.
$3t^2 + t - 2 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6}$
$t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$. Остается $t_1 = \frac{2}{3}$.
Вернемся к замене:
$(\frac{4}{9})^x = \frac{2}{3}$
$((\frac{2}{3})^2)^x = (\frac{2}{3})^1$
$(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^1$
Приравниваем показатели:
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $0.5$.

6) $3^x = 30 - x$
Это трансцендентное уравнение, которое решается графически или методом подбора. Рассмотрим две функции: $y_1 = 3^x$ и $y_2 = 30 - x$.
Функция $y_1 = 3^x$ является строго возрастающей.
Функция $y_2 = 30 - x$ (линейная) является строго убывающей.
Графики таких функций могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором, проверяя целые значения $x$.
При $x=1$: $3^1=3$, а $30-1=29$. Неверно.
При $x=2$: $3^2=9$, а $30-2=28$. Неверно.
При $x=3$: $3^3=27$, а $30-3=27$. Верно.
Таким образом, $x=3$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $3$.

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $49^x - (a+5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$ имеет один действительный корень?
Перепишем уравнение, заметив, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$:
$(7^x)^2 - (a+5) \cdot 7^x + (7a - 14) = 0$
Сделаем замену переменной $t = 7^x$. Поскольку $7^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Исходное уравнение имеет один действительный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение для $t$ имеет ровно один положительный корень.
$t^2 - (a+5)t + (7a - 14) = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно заметить, что $t=7$ является корнем при любом $a$:
$7^2 - (a+5)\cdot7 + 7a - 14 = 49 - 7a - 35 + 7a - 14 = (49-35-14) + (-7a+7a) = 0$.
Итак, один корень $t_1 = 7$.
Второй корень $t_2$ найдем по теореме Виета. Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 7a - 14$.
$7 \cdot t_2 = 7a - 14$
$t_2 = a - 2$
Корни квадратного уравнения: $t_1 = 7$ и $t_2 = a - 2$.
Нам нужно, чтобы был ровно один положительный корень $t$.
Корень $t_1=7$ всегда положителен. Это означает, что для выполнения условия задачи второй корень $t_2$ должен быть либо равен первому (чтобы был один корень кратности 2), либо быть неположительным ($t_2 \le 0$).
Рассмотрим эти два случая:
1) Корни совпадают: $t_1 = t_2$.
$7 = a - 2 \implies a = 9$.
При $a=9$ уравнение имеет один корень $t=7$, который положителен. Это дает одно решение для $x$. Значит, $a=9$ подходит.
2) Второй корень неположительный: $t_2 \le 0$.
$a - 2 \le 0 \implies a \le 2$.
Если $a \le 2$, то корень $t_2$ неположителен, и из него нельзя найти действительное $x$ (так как $7^x > 0$). Единственный положительный корень $t_1=7$ даст единственное решение $x=1$. Значит, все $a \le 2$ подходят.
Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a \in (-\infty, 2] \cup \{9\}$.
Ответ: $a \in (-\infty, 2] \cup \{9\}$.