Страница 25 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Случайная величина

По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Найдите:

1) $P(x=0)$;

2) $P(x=2)$;

3) $P(x \ge 7)$;

4) $P(x < 7)$;

5) $P(1 \le x < 10)$.

Игральный кубик подбрасывают дважды. Случайная величина $x$ равна количеству выпавших при этом единиц, а случайная величина $y$ равна 0, если при первом подбрасывании выпала единица, и 2 в противном случае.

Найдите:

1) распределение случайной величины $x$;

2) распределение случайной величины $y$;

3) распределение случайной величины $z = x + y$.

1)

Сумма всех вероятностей в законе распределения случайной величины должна быть равна 1. Исходя из этого, составим уравнение:

$0,15 + 0,15 + 2a + 0,15 + a = 1$

Упростим левую часть:

$0,45 + 3a = 1$

Решим уравнение относительно $a$:

$3a = 1 - 0,45$

$3a = 0,55$

$a = \frac{0,55}{3} = \frac{55}{300} = \frac{11}{60}$

Ответ: $a = \frac{11}{60}$.

2)

Сумма всех вероятностей, выраженных в процентах, должна быть равна 100%. Составим и решим уравнение:

$a + 17 + 19 + 27 + 24 + 11 = 100$

Вычислим сумму известных вероятностей:

$a + 98 = 100$

Найдем $a$:

$a = 100 - 98$

$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

1) P(x = 0)

Вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 0, указана непосредственно в таблице распределения. Она составляет 9%.

$P(x = 0) = 9\% = 0,09$

Ответ: 0,09.

2) P(x = 2)

Значение $x = 2$ отсутствует в списке возможных значений случайной величины. Следовательно, это невозможное событие, и его вероятность равна 0.

$P(x = 2) = 0$

Ответ: 0.

3) P(x ≥ 7)

Событие $x \ge 7$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, равное или большее 7. Из таблицы видно, что такими значениями являются 7, 10 и 14. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов.

$P(x \ge 7) = P(x=7) + P(x=10) + P(x=14)$

$P(x \ge 7) = 35\% + 7\% + 8\% = 50\% = 0,5$

Ответ: 0,5.

4) P(x < 7)

Событие $x < 7$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение меньше 7. Из таблицы это значения 0, 1 и 3. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов.

$P(x < 7) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=3)$

$P(x < 7) = 9\% + 17\% + 24\% = 50\% = 0,5$

Ответ: 0,5.

5) P(1 ≤ x < 10)

Событие $1 \le x < 10$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, не меньшее 1 и меньшее 10. Из таблицы это значения 1, 3 и 7. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов.

$P(1 \le x < 10) = P(x=1) + P(x=3) + P(x=7)$

$P(1 \le x < 10) = 17\% + 24\% + 35\% = 76\% = 0,76$

Ответ: 0,76.

1) распределение случайной величины x

Случайная величина $x$ — это количество выпавших единиц при двух подбрасываниях кубика. Возможные значения для $x$: 0, 1, 2. Вероятность выпадения единицы при одном броске равна $p = \frac{1}{6}$, а вероятность невыпадения единицы — $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.

Найдем вероятности для каждого значения $x$:

• $P(x=0)$: единица не выпала ни разу (два раза выпало "не единица"). Вероятность: $q \cdot q = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$.
• $P(x=1)$: единица выпала ровно один раз (1, не 1) или (не 1, 1). Вероятность: $p \cdot q + q \cdot p = 2pq = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{36}$.
• $P(x=2)$: единица выпала дважды. Вероятность: $p \cdot p = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Ответ: Таблица распределения для $x$:

2) распределение случайной величины y

Случайная величина $y$ равна 0, если при первом броске выпала единица, и 2 в противном случае. Возможные значения $y$: 0, 2.

Найдем вероятности для каждого значения $y$:

• $P(y=0)$: на первом кубике выпала единица. Вероятность этого события равна $p = \frac{1}{6}$.
• $P(y=2)$: на первом кубике не выпала единица. Вероятность этого события равна $q = \frac{5}{6}$.

Ответ: Таблица распределения для $y$:

3) распределение случайной величины z = x + y

Для нахождения распределения $z = x + y$, рассмотрим все возможные исходы двух бросков и соответствующие им значения $x$, $y$ и $z$:

• Исход "1, 1" (вероятность $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$):
  $x=2$, $y=0$ $\Rightarrow$ $z = 2+0=2$.
• Исход "1, не 1" (вероятность $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$):
  $x=1$, $y=0$ $\Rightarrow$ $z = 1+0=1$.
• Исход "не 1, 1" (вероятность $\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$):
  $x=1$, $y=2$ $\Rightarrow$ $z = 1+2=3$.
• Исход "не 1, не 1" (вероятность $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$):
  $x=0$, $y=2$ $\Rightarrow$ $z = 0+2=2$.

Теперь сгруппируем вероятности по значениям $z$:

• $P(z=1)$: соответствует исходу "1, не 1", вероятность $\frac{5}{36}$.
• $P(z=2)$: соответствует исходам "1, 1" и "не 1, не 1", вероятность $\frac{1}{36} + \frac{25}{36} = \frac{26}{36}$.
• $P(z=3)$: соответствует исходу "не 1, 1", вероятность $\frac{5}{36}$.

Ответ: Таблица распределения для $z$: