Страница 21 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Вычисление объёмов тел

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = x^2 + 2x + 2$ и $y = 6 - x^2$;

2) $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$.

2. Найдите, при каком значении параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a + 3$, принимает наименьшее значение.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите

$\int_0^2 \sqrt{4x - x^2} dx$.

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции

$y = \sqrt{x + 2}$ и прямыми $x = 7$ и $y = 0$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 2x + 2$ и $y = 6 - x^2$, сначала найдем точки пересечения этих графиков, приравняв их уравнения:

$x^2 + 2x + 2 = 6 - x^2$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Чтобы определить, какая функция находится выше на интервале $[-2, 1]$, выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$.

Для первой функции: $y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

Для второй функции: $y(0) = 6 - 0^2 = 6$.

Так как $6 > 2$, график функции $y = 6 - x^2$ находится выше графика $y = x^2 + 2x + 2$ на данном интервале.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-2}^{1} ((6 - x^2) - (x^2 + 2x + 2)) \,dx = \int_{-2}^{1} (4 - 2x - 2x^2) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$\int_{-2}^{1} (4 - 2x - 2x^2) \,dx = (4x - \frac{2x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}) \Big|_{-2}^{1} = (4x - x^2 - \frac{2}{3}x^3) \Big|_{-2}^{1}$

$= (4(1) - (1)^2 - \frac{2}{3}(1)^3) - (4(-2) - (-2)^2 - \frac{2}{3}(-2)^3)$

$= (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 - \frac{2}{3}(-8)) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3})$

$= \frac{7}{3} - (-\frac{36}{3} + \frac{16}{3}) = \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: 9

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$, найдем точки их пересечения.

Функция $y = |x^2 - 4|$ может быть записана как:

$y = x^2 - 4$, если $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

$y = 4 - x^2$, если $x \in (-2, 2)$

Найдем точки пересечения прямой с каждой частью параболы.

Случай 1: $2 - x = x^2 - 4$ на $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

$x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 2$. Оба корня принадлежат указанным промежуткам.

Случай 2: $2 - x = 4 - x^2$ на $(-2, 2)$

$x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x_3 = 2, x_4 = -1$. Корень $x = -1$ принадлежит интервалу $(-2, 2)$.

Таким образом, точки пересечения: $x = -3, x = -1, x = 2$. Площадь фигуры будет суммой интегралов на промежутках $[-3, -1]$ и $[-1, 2]$.

На промежутке $[-3, -1]$, проверим, какая функция больше (например, в точке $x=-2$): $y_{линия} = 2 - (-2) = 4$, $y_{парабола} = |(-2)^2 - 4| = 0$. Линия выше.

На промежутке $[-1, 2]$, проверим в точке $x=0$: $y_{линия} = 2 - 0 = 2$, $y_{парабола} = |0^2 - 4| = 4$. Парабола выше.

Площадь $S$ является суммой двух интегралов. Заметим, что на отрезке $[-3, -1]$ модуль раскрывается по-разному до и после $x=-2$.

$S = \int_{-3}^{-2} ((2-x) - (x^2 - 4)) \,dx + \int_{-2}^{-1} ((2-x) - (4 - x^2)) \,dx + \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (2 - x)) \,dx$

$S = \int_{-3}^{-2} (-x^2 - x + 6) \,dx + \int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) \,dx + \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx$

$S_1 = (-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x) \Big|_{-3}^{-2} = (\frac{8}{3} - 2 - 12) - (9 - \frac{9}{2} - 18) = -\frac{34}{3} - (-\frac{27}{2}) = \frac{13}{6}$

$S_2 = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x) \Big|_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} - 2 + 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{2}{3}) = \frac{11}{6}$

$S_3 = (-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x) \Big|_{-1}^{2} = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{27}{6}$

$S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{13}{6} + \frac{11}{6} + \frac{27}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: 8.5

2.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a + 3$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как $y=3x^2 \ge 0$ для любого $x$, площадь $S$ равна:

$S(a) = \int_{a}^{a+3} 3x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$S(a) = [x^3] \Big|_{a}^{a+3} = (a+3)^3 - a^3$

Раскроем скобки:

$S(a) = (a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3 = (a^3 + 9a^2 + 27a + 27) - a^3$

$S(a) = 9a^2 + 27a + 27$

Мы получили квадратичную функцию площади $S(a)$ от параметра $a$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, она имеет наименьшее значение в своей вершине. Координату $a$ вершины параболы $Ax^2+Bx+C$ можно найти по формуле $a_0 = -B/(2A)$.

В нашем случае $A=9$, $B=27$.

$a = -\frac{27}{2 \cdot 9} = -\frac{27}{18} = -\frac{3}{2}$

Таким образом, площадь принимает наименьшее значение при $a = -1.5$.

Ответ: -1.5

3.

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} \,dx$ — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{4x - x^2}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=2$.

Рассмотрим уравнение кривой $y = \sqrt{4x - x^2}$.

Поскольку $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат:

$y^2 = 4x - x^2$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Так как исходное уравнение было $y = \sqrt{4x - x^2}$, что подразумевает $y \ge 0$, речь идет о верхней половине этой окружности.

Интегрирование ведется от $x=0$ до $x=2$. Это соответствует левой четверти окружности (от самой левой точки $(0,0)$ до центра $(2,0)$).

Площадь всей окружности равна $A_{circle} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Площадь четверти окружности равна $\frac{1}{4} A_{circle} = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = \pi$.

Следовательно, значение интеграла равно площади этой четверти круга.

Ответ: $\pi$

4.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

В нашем случае функция $y = \sqrt{x+2}$. Фигура ограничена этим графиком, осью $y=0$ и прямой $x=7$. Найдем левую границу интегрирования, приравняв функцию к нулю: $\sqrt{x+2} = 0 \implies x = -2$.

Таким образом, пределы интегрирования от $a=-2$ до $b=7$.

Квадрат функции равен $[f(x)]^2 = (\sqrt{x+2})^2 = x+2$.

Подставляем в формулу объёма:

$V = \pi \int_{-2}^{7} (x+2) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right] \Big|_{-2}^{7}$

$V = \pi \left( (\frac{7^2}{2} + 2 \cdot 7) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)) \right)$

$V = \pi \left( (\frac{49}{2} + 14) - (\frac{4}{2} - 4) \right)$

$V = \pi \left( (\frac{49+28}{2}) - (2 - 4) \right)$

$V = \pi \left( \frac{77}{2} - (-2) \right) = \pi (\frac{77}{2} + 2) = \pi (\frac{77+4}{2}) = \frac{81\pi}{2}$

Ответ: $\frac{81\pi}{2}$

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 2 - i, z_2 = 3 + 4i$. Вычислите:

1) $2z_1 - z_2$

2) $2z_1 + \overline{z_2}$

3) $|z_1 z_2|$

4) $\frac{z_1}{z_2}$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 5i)(1 - 5i) - i(3 - 4i)^2$

2) $\frac{1 - 4i}{1 + 4i} - \frac{1 + 4i}{1 - 4i}$

3) $(1 + 5i)^4$

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -8 - 6i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{33}$.

1. Дано: $z_1 = 2 - i$, $z_2 = 3 + 4i$. Вычислите:

1) $2z_1 - z_2$

Подставим значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ в выражение:

$2z_1 - z_2 = 2(2 - i) - (3 + 4i)$

Раскроем скобки:

$4 - 2i - 3 - 4i$

Сгруппируем действительные и мнимые части и выполним вычисления:

$(4 - 3) + (-2i - 4i) = 1 - 6i$

Ответ: $1 - 6i$

2) $2z_1 + \bar{z_2}$

Найдем комплексно-сопряженное число для $z_2 = 3 + 4i$. Для этого изменим знак перед мнимой частью:

$\bar{z_2} = 3 - 4i$

Теперь подставим значения $z_1$ и $\bar{z_2}$ в выражение:

$2z_1 + \bar{z_2} = 2(2 - i) + (3 - 4i) = (4 - 2i) + (3 - 4i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(4 + 3) + (-2i - 4i) = 7 - 6i$

Ответ: $7 - 6i$

3) $|z_1 z_2|$

Воспользуемся свойством модуля произведения комплексных чисел: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.

Найдем модуль каждого числа по формуле $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z_1| = |2 - i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|z_2| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Перемножим модули:

$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot 5 = 5\sqrt{5}$

Ответ: $5\sqrt{5}$

4) $\frac{z_1}{z_2}$

Подставим значения $z_1$ и $z_2$:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 - i}{3 + 4i}$

Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $3 - 4i$:

$\frac{(2 - i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot 4i - i \cdot 3 + i \cdot 4i}{3^2 - (4i)^2}$

Выполним умножение в числителе и знаменателе, помня, что $i^2 = -1$:

$\frac{6 - 8i - 3i + 4i^2}{9 - 16i^2} = \frac{6 - 11i - 4}{9 - 16(-1)} = \frac{2 - 11i}{9 + 16} = \frac{2 - 11i}{25}$

Запишем результат в алгебраической форме:

$\frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$

Ответ: $\frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 5i)(1 - 5i) - i(3 - 4i)^2$

Упростим выражение по частям. Первая часть — произведение сопряженных чисел:

$(1 + 5i)(1 - 5i) = 1^2 - (5i)^2 = 1 - 25i^2 = 1 - 25(-1) = 1 + 25 = 26$

Вторая часть — возведем в квадрат $(3 - 4i)$:

$(3 - 4i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 - 24i + 16i^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$

Теперь умножим результат на $i$:

$i(-7 - 24i) = -7i - 24i^2 = -7i - 24(-1) = 24 - 7i$

Вычтем вторую часть из первой:

$26 - (24 - 7i) = 26 - 24 + 7i = 2 + 7i$

Ответ: $2 + 7i$

2) $\frac{1 - 4i}{1 + 4i} - \frac{1 + 4i}{1 - 4i}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + 4i)(1 - 4i)$:

$(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17$

Выражение примет вид:

$\frac{(1 - 4i)^2 - (1 + 4i)^2}{17}$

Раскроем квадраты в числителе:

$(1 - 4i)^2 = 1 - 8i + 16i^2 = 1 - 8i - 16 = -15 - 8i$

$(1 + 4i)^2 = 1 + 8i + 16i^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i$

Подставим в числитель:

$(-15 - 8i) - (-15 + 8i) = -15 - 8i + 15 - 8i = -16i$

Итоговое выражение:

$\frac{-16i}{17} = -\frac{16}{17}i$

Ответ: $-\frac{16}{17}i$

3) $(1 + 5i)^4$

Представим степень как $((1 + 5i)^2)^2$. Сначала возведем в квадрат основание:

$(1 + 5i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 5i + (5i)^2 = 1 + 10i + 25i^2 = 1 + 10i - 25 = -24 + 10i$

Теперь возведем в квадрат полученный результат:

$(-24 + 10i)^2 = (-24)^2 - 2 \cdot 24 \cdot 10i + (10i)^2 = 576 - 480i + 100i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$:

$576 - 480i - 100 = 476 - 480i$

Ответ: $476 - 480i$

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -8 - 6i$.

Пусть искомое комплексное число $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа.

Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$.

Приравняем это выражение к заданному значению $-8 - 6i$:

$(x^2 - y^2) + (2xy)i = -8 - 6i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = -6 \end{cases}$

Также воспользуемся свойством, что модуль квадрата числа равен квадрату его модуля: $|z^2| = |z|^2$.

$|z^2| = |-8 - 6i| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

$|z|^2 = |x + yi|^2 = (\sqrt{x^2+y^2})^2 = x^2 + y^2$.

Таким образом, $x^2 + y^2 = 10$. Добавим это уравнение в систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ x^2 + y^2 = 10 \\ 2xy = -6 \end{cases}$

Сложим первые два уравнения:

$(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = -8 + 10 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$.

Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 10 - (-8) \implies 2y^2 = 18 \implies y^2 = 9$.

Отсюда $y_1 = 3$, $y_2 = -3$.

Из третьего уравнения системы $2xy = -6$, или $xy = -3$, следует, что $x$ и $y$ должны иметь разные знаки.

Если $x = 1$, то $y = -3$. Получаем число $z_1 = 1 - 3i$.

Если $x = -1$, то $y = 3$. Получаем число $z_2 = -1 + 3i$.

Ответ: $1 - 3i$ и $-1 + 3i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{33}$.

Данное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, знаменатель $q = i$, а количество членов $n = 34$ (от 0-й до 33-й степени).

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим наши значения:

$S_{34} = \frac{1(i^{34} - 1)}{i - 1} = \frac{i^{34} - 1}{i - 1}$

Вычислим $i^{34}$. Степени мнимой единицы $i$ повторяются с периодом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$).

Найдем остаток от деления 34 на 4: $34 = 4 \cdot 8 + 2$.

Следовательно, $i^{34} = i^2 = -1$.

Подставим это значение в формулу суммы:

$S_{34} = \frac{-1 - 1}{i - 1} = \frac{-2}{i - 1}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $i+1$ (или $-1-i$), чтобы избавиться от мнимости в знаменателе:

$\frac{-2}{-1 + i} = \frac{-2(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{2 + 2i}{(-1)^2 - i^2} = \frac{2 + 2i}{1 - (-1)} = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i$

Ответ: $1 + i$