Номер 13, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 2 - i, z_2 = 3 + 4i$. Вычислите:

1) $2z_1 - z_2$

2) $2z_1 + \overline{z_2}$

3) $|z_1 z_2|$

4) $\frac{z_1}{z_2}$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 5i)(1 - 5i) - i(3 - 4i)^2$

2) $\frac{1 - 4i}{1 + 4i} - \frac{1 + 4i}{1 - 4i}$

3) $(1 + 5i)^4$

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -8 - 6i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{33}$.

1. Дано: $z_1 = 2 - i$, $z_2 = 3 + 4i$. Вычислите:

1) $2z_1 - z_2$

Подставим значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ в выражение:

$2z_1 - z_2 = 2(2 - i) - (3 + 4i)$

Раскроем скобки:

$4 - 2i - 3 - 4i$

Сгруппируем действительные и мнимые части и выполним вычисления:

$(4 - 3) + (-2i - 4i) = 1 - 6i$

Ответ: $1 - 6i$

2) $2z_1 + \bar{z_2}$

Найдем комплексно-сопряженное число для $z_2 = 3 + 4i$. Для этого изменим знак перед мнимой частью:

$\bar{z_2} = 3 - 4i$

Теперь подставим значения $z_1$ и $\bar{z_2}$ в выражение:

$2z_1 + \bar{z_2} = 2(2 - i) + (3 - 4i) = (4 - 2i) + (3 - 4i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(4 + 3) + (-2i - 4i) = 7 - 6i$

Ответ: $7 - 6i$

3) $|z_1 z_2|$

Воспользуемся свойством модуля произведения комплексных чисел: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.

Найдем модуль каждого числа по формуле $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z_1| = |2 - i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|z_2| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Перемножим модули:

$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot 5 = 5\sqrt{5}$

Ответ: $5\sqrt{5}$

4) $\frac{z_1}{z_2}$

Подставим значения $z_1$ и $z_2$:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 - i}{3 + 4i}$

Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $3 - 4i$:

$\frac{(2 - i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot 4i - i \cdot 3 + i \cdot 4i}{3^2 - (4i)^2}$

Выполним умножение в числителе и знаменателе, помня, что $i^2 = -1$:

$\frac{6 - 8i - 3i + 4i^2}{9 - 16i^2} = \frac{6 - 11i - 4}{9 - 16(-1)} = \frac{2 - 11i}{9 + 16} = \frac{2 - 11i}{25}$

Запишем результат в алгебраической форме:

$\frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$

Ответ: $\frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 5i)(1 - 5i) - i(3 - 4i)^2$

Упростим выражение по частям. Первая часть — произведение сопряженных чисел:

$(1 + 5i)(1 - 5i) = 1^2 - (5i)^2 = 1 - 25i^2 = 1 - 25(-1) = 1 + 25 = 26$

Вторая часть — возведем в квадрат $(3 - 4i)$:

$(3 - 4i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 - 24i + 16i^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$

Теперь умножим результат на $i$:

$i(-7 - 24i) = -7i - 24i^2 = -7i - 24(-1) = 24 - 7i$

Вычтем вторую часть из первой:

$26 - (24 - 7i) = 26 - 24 + 7i = 2 + 7i$

Ответ: $2 + 7i$

2) $\frac{1 - 4i}{1 + 4i} - \frac{1 + 4i}{1 - 4i}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + 4i)(1 - 4i)$:

$(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17$

Выражение примет вид:

$\frac{(1 - 4i)^2 - (1 + 4i)^2}{17}$

Раскроем квадраты в числителе:

$(1 - 4i)^2 = 1 - 8i + 16i^2 = 1 - 8i - 16 = -15 - 8i$

$(1 + 4i)^2 = 1 + 8i + 16i^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i$

Подставим в числитель:

$(-15 - 8i) - (-15 + 8i) = -15 - 8i + 15 - 8i = -16i$

Итоговое выражение:

$\frac{-16i}{17} = -\frac{16}{17}i$

Ответ: $-\frac{16}{17}i$

3) $(1 + 5i)^4$

Представим степень как $((1 + 5i)^2)^2$. Сначала возведем в квадрат основание:

$(1 + 5i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 5i + (5i)^2 = 1 + 10i + 25i^2 = 1 + 10i - 25 = -24 + 10i$

Теперь возведем в квадрат полученный результат:

$(-24 + 10i)^2 = (-24)^2 - 2 \cdot 24 \cdot 10i + (10i)^2 = 576 - 480i + 100i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$:

$576 - 480i - 100 = 476 - 480i$

Ответ: $476 - 480i$

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -8 - 6i$.

Пусть искомое комплексное число $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа.

Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$.

Приравняем это выражение к заданному значению $-8 - 6i$:

$(x^2 - y^2) + (2xy)i = -8 - 6i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = -6 \end{cases}$

Также воспользуемся свойством, что модуль квадрата числа равен квадрату его модуля: $|z^2| = |z|^2$.

$|z^2| = |-8 - 6i| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

$|z|^2 = |x + yi|^2 = (\sqrt{x^2+y^2})^2 = x^2 + y^2$.

Таким образом, $x^2 + y^2 = 10$. Добавим это уравнение в систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ x^2 + y^2 = 10 \\ 2xy = -6 \end{cases}$

Сложим первые два уравнения:

$(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = -8 + 10 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$.

Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 10 - (-8) \implies 2y^2 = 18 \implies y^2 = 9$.

Отсюда $y_1 = 3$, $y_2 = -3$.

Из третьего уравнения системы $2xy = -6$, или $xy = -3$, следует, что $x$ и $y$ должны иметь разные знаки.

Если $x = 1$, то $y = -3$. Получаем число $z_1 = 1 - 3i$.

Если $x = -1$, то $y = 3$. Получаем число $z_2 = -1 + 3i$.

Ответ: $1 - 3i$ и $-1 + 3i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{33}$.

Данное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, знаменатель $q = i$, а количество членов $n = 34$ (от 0-й до 33-й степени).

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим наши значения:

$S_{34} = \frac{1(i^{34} - 1)}{i - 1} = \frac{i^{34} - 1}{i - 1}$

Вычислим $i^{34}$. Степени мнимой единицы $i$ повторяются с периодом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$).

Найдем остаток от деления 34 на 4: $34 = 4 \cdot 8 + 2$.

Следовательно, $i^{34} = i^2 = -1$.

Подставим это значение в формулу суммы:

$S_{34} = \frac{-1 - 1}{i - 1} = \frac{-2}{i - 1}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $i+1$ (или $-1-i$), чтобы избавиться от мнимости в знаменателе:

$\frac{-2}{-1 + i} = \frac{-2(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{2 + 2i}{(-1)^2 - i^2} = \frac{2 + 2i}{1 - (-1)} = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i$

Ответ: $1 + i$