Номер 18, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Аксиомы теории вероятностей

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,03, в девятку — 0,2, в восьмёрку — 0,3. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) больше 8 очков;

2) меньше 8 очков;

3) не менее 8 очков?

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие $B$ — в том, что по крайней одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

1) $\overline{B}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

3. В школе работают две спортивные секции — волейбольная и теннисная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 15%, теннисиста — 9%, а ученика, посещающего хотя бы одну из этих секций, — 19%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает обе указанные секции?

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,03, в девятку — 0,2, в восьмёрку — 0,3. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

Обозначим события: $H_{10}$ — попадание в десятку, $H_9$ — в девятку, $H_8$ — в восьмёрку. По условию, их вероятности равны $P(H_{10}) = 0,03$, $P(H_9) = 0,2$, $P(H_8) = 0,3$. Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя попасть одновременно в разные зоны.

1) больше 8 очков;
Событие "набрать больше 8 очков" означает попадание в девятку (9 очков) или в десятку (10 очков). Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(\text{больше 8 очков}) = P(H_9) + P(H_{10}) = 0,2 + 0,03 = 0,23$.
Ответ: 0,23.

2) меньше 8 очков;
Событие "набрать меньше 8 очков" является противоположным событию "набрать не менее 8 очков" (то есть 8, 9 или 10 очков). Вероятность набрать не менее 8 очков равна сумме вероятностей попадания в 8, 9 или 10:
$P(\text{не менее 8 очков}) = P(H_8) + P(H_9) + P(H_{10}) = 0,3 + 0,2 + 0,03 = 0,53$.
Тогда вероятность противоположного события "набрать меньше 8 очков" равна:
$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - P(\text{не менее 8 очков}) = 1 - 0,53 = 0,47$.
Ответ: 0,47.

3) не менее 8 очков?
Событие "набрать не менее 8 очков" означает попадание в восьмёрку, девятку или десятку. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих несовместных событий:
$P(\text{не менее 8 очков}) = P(H_8) + P(H_9) + P(H_{10}) = 0,3 + 0,2 + 0,03 = 0,53$.
Ответ: 0,53.

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие А состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие В — в том, что по крайней одной одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

Общее число равновозможных исходов при выборе по одной карточке из двух колод равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим все исходы в виде пар $(k_1, k_2)$, где $k_1$ — номер карточки из первой колоды, а $k_2$ — из второй:
$\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$.

Событие A — "сумма очков нечётная". Сумма двух чисел нечётная, если одно из них чётное, а другое нечётное. В колоде чётное число — 2, нечётные — 1 и 3. Благоприятствующие исходы для события A: $A = \{(1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}$. Число таких исходов $|A| = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{4}{9}$.

Событие B — "по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Благоприятствующие исходы для события B: $B = \{(1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$. Число таких исходов $|B| = 5$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{5}{9}$.

1) $\overline{B}$;
Событие $\overline{B}$ является противоположным событию B, то есть "ни на одной из карточек нет номера 3". Это означает, что обе выбранные карточки могут быть только с номерами 1 или 2. Вероятность этого события можно найти как $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$.
$P(\overline{B}) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) $A \cap B$;
Событие $A \cap B$ означает, что произошли оба события A и B одновременно: "сумма очков нечётная" и "по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Для нахождения исходов этого события найдем пересечение множеств A и B:
$A \cap B = \{(2,3), (3,2)\}$.
Число благоприятствующих исходов $|A \cap B| = 2$. Вероятность $P(A \cap B) = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

3) $A \cup B$.
Событие $A \cup B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B. Вероятность объединения событий вычисляется по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{4+5-2}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

3. В школе работают две спортивные секции — волейбольная и теннисная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 15%, теннисиста — 9%, а ученика, посещающего хотя бы одну из этих секций, — 19%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает обе указанные секции?

Пусть событие $V$ — случайно выбранный учащийся является волейболистом, а событие $T$ — теннисистом. По условию задачи нам даны следующие вероятности:
Вероятность встретить волейболиста: $P(V) = 15\% = 0,15$.
Вероятность встретить теннисиста: $P(T) = 9\% = 0,09$.
Вероятность встретить ученика, посещающего хотя бы одну из этих секций (событие $V \cup T$): $P(V \cup T) = 19\% = 0,19$.

Требуется найти вероятность того, что выбранный учащийся посещает обе секции, то есть вероятность пересечения событий $V$ и $T$, обозначаемую как $P(V \cap T)$. Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий:
$P(V \cup T) = P(V) + P(T) - P(V \cap T)$.
Выразим из этой формулы искомую вероятность $P(V \cap T)$:
$P(V \cap T) = P(V) + P(T) - P(V \cup T)$.
Подставим известные значения:
$P(V \cap T) = 0,15 + 0,09 - 0,19 = 0,24 - 0,19 = 0,05$.
Ответ: 0,05.