Номер 11, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-2}^{0} (x^2 + 6x)dx;$

2) $\int_{0}^{0.5} \frac{12dx}{(4x - 3)^4};$

3) $\int_{-2}^{-1} (x^2 + \frac{6}{x})dx;$

4) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 \frac{x}{6}dx;$

5) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^x - x^3}{x^3e^x}dx.$

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \cos \frac{x}{2}$ и прямыми $y = 0, x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2};$

2) графиками функций $y = \sqrt{5 - x}$ и $y = \sqrt{x + 3}$ и осью абсцисс.

1. Вычислите интеграл:

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = x^2 + 6x $: $ F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{6x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^3}{3} + 3x^2 $.
Теперь вычислим интеграл: $ \int_{-2}^{0} (x^2 + 6x)dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2\right) \right|_{-2}^{0} = \left(\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 3(-2)^2\right) = 0 - \left(\frac{-8}{3} + 3 \cdot 4\right) = -\left(-\frac{8}{3} + 12\right) = \frac{8}{3} - 12 = \frac{8 - 36}{3} = -\frac{28}{3} $.
Ответ: $ -\frac{28}{3} $.

2) Вынесем константу за знак интеграла и найдем первообразную. Удобно сделать замену $ t = 4x - 3 $, тогда $ dt = 4dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{4} $. $ \int \frac{12}{(4x - 3)^4} dx = 12 \int (4x-3)^{-4} dx $. Первообразная: $ 12 \cdot \frac{(4x-3)^{-3}}{-3 \cdot 4} = -\frac{1}{(4x-3)^3} $.
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{0}^{0,5} \frac{12}{(4x - 3)^4} dx = \left. \left(-\frac{1}{(4x-3)^3}\right) \right|_{0}^{0,5} = \left(-\frac{1}{(4 \cdot 0,5 - 3)^3}\right) - \left(-\frac{1}{(4 \cdot 0 - 3)^3}\right) = \left(-\frac{1}{(2 - 3)^3}\right) - \left(-\frac{1}{(-3)^3}\right) = \left(-\frac{1}{(-1)^3}\right) - \left(-\frac{1}{-27}\right) = 1 - \frac{1}{27} = \frac{26}{27} $.
Ответ: $ \frac{26}{27} $.

3) Интеграл суммы равен сумме интегралов. Найдем первообразную для $ x^2 + \frac{6}{x} $: $ F(x) = \frac{x^3}{3} + 6\ln|x| $.
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{-2}^{-1} \left(x^2 + \frac{6}{x}\right) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + 6\ln|x|\right) \right|_{-2}^{-1} = \left(\frac{(-1)^3}{3} + 6\ln|-1|\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 6\ln|-2|\right) = \left(-\frac{1}{3} + 6 \cdot 0\right) - \left(-\frac{8}{3} + 6\ln(2)\right) = -\frac{1}{3} + \frac{8}{3} - 6\ln(2) = \frac{7}{3} - 6\ln(2) $.
Ответ: $ \frac{7}{3} - 6\ln(2) $.

4) Используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $. $ 2\sin^2\frac{x}{6} = 2 \cdot \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{6})}{2} = 1 - \cos\frac{x}{3} $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 - \cos\frac{x}{3}\right) dx $.
Найдем первообразную: $ F(x) = x - 3\sin\frac{x}{3} $.
Вычислим интеграл: $ \left. \left(x - 3\sin\frac{x}{3}\right) \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{\pi/2}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{-\pi/2}{3}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{\pi}{6}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + 3\sin\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} = \pi - 3 $.
Ответ: $ \pi - 3 $.

5) Упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно: $ \frac{e^x - x^3}{x^3e^x} = \frac{e^x}{x^3e^x} - \frac{x^3}{x^3e^x} = \frac{1}{x^3} - \frac{1}{e^x} = x^{-3} - e^{-x} $.
Найдем первообразную: $ F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} - \frac{e^{-x}}{-1} = -\frac{1}{2x^2} + e^{-x} $.
Вычислим интеграл: $ \int_{-2}^{-1} (x^{-3} - e^{-x})dx = \left. \left(-\frac{1}{2x^2} + e^{-x}\right) \right|_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{2(-1)^2} + e^{-(-1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(-2)^2} + e^{-(-2)}\right) = \left(-\frac{1}{2} + e\right) - \left(-\frac{1}{8} + e^2\right) = e - \frac{1}{2} - e^2 + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{3}{8} $.
Ответ: $ e - e^2 - \frac{3}{8} $.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $ y = \cos\frac{x}{2} $ и прямыми $ y = 0, x = -\frac{\pi}{2} $ и $ x = \frac{\pi}{2} $
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y = f(x) $, осью Ox и прямыми $ x = a $ и $ x = b $, где $ f(x) \ge 0 $ на $ [a, b] $, вычисляется по формуле $ S = \int_{a}^{b} f(x)dx $.
На отрезке $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ функция $ y = \cos\frac{x}{2} $ неотрицательна, так как $ \frac{x}{2} $ изменяется в пределах $ \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] $, где косинус положителен.
Вычисляем площадь: $ S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\frac{x}{2} dx $.
Первообразная для $ \cos\frac{x}{2} $ равна $ 2\sin\frac{x}{2} $.
$ S = \left. 2\sin\frac{x}{2} \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\sin\left(\frac{\pi/2}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{-\pi/2}{2}\right) = 2\sin\frac{\pi}{4} - 2\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\sin\frac{\pi}{4} + 2\sin\frac{\pi}{4} = 4\sin\frac{\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $.
Ответ: $ 2\sqrt{2} $.

2) графиками функций $ y = \sqrt{5-x} $ и $ y = \sqrt{x+3} $ и осью абсцисс.
Найдем точки пересечения графиков друг с другом и с осью абсцисс ($ y = 0 $).
1. Пересечение $ y = \sqrt{5-x} $ и $ y = \sqrt{x+3} $: $ \sqrt{5-x} = \sqrt{x+3} \implies 5-x = x+3 \implies 2x = 2 \implies x = 1 $.
2. Пересечение $ y = \sqrt{5-x} $ с осью Ox: $ \sqrt{5-x} = 0 \implies x = 5 $.
3. Пересечение $ y = \sqrt{x+3} $ с осью Ox: $ \sqrt{x+3} = 0 \implies x = -3 $.
Фигура ограничена снизу осью абсцисс. Сверху она ограничена графиком $ y = \sqrt{x+3} $ на отрезке $ [-3, 1] $ и графиком $ y = \sqrt{5-x} $ на отрезке $ [1, 5] $.
Площадь фигуры равна сумме двух интегралов: $ S = \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx + \int_{1}^{5} \sqrt{5-x} dx $.
Вычислим первый интеграл: $ \int_{-3}^{1} (x+3)^{1/2} dx = \left. \frac{(x+3)^{3/2}}{3/2} \right|_{-3}^{1} = \left. \frac{2}{3}(x+3)^{3/2} \right|_{-3}^{1} = \frac{2}{3}(1+3)^{3/2} - \frac{2}{3}(-3+3)^{3/2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $.
Вычислим второй интеграл: $ \int_{1}^{5} (5-x)^{1/2} dx = \left. -\frac{(5-x)^{3/2}}{3/2} \right|_{1}^{5} = \left. -\frac{2}{3}(5-x)^{3/2} \right|_{1}^{5} = -\frac{2}{3}(5-5)^{3/2} - \left(-\frac{2}{3}(5-1)^{3/2}\right) = 0 + \frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $.
Общая площадь: $ S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} $.
Ответ: $ \frac{32}{3} $.