Номер 4, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Логарифм и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $log_{0,5}log_3 81;$

2) $log_{13}26 - log_{13}2;$

3) $\frac{log_4 0,0001}{log_4 10};$

4) $log_{\sqrt{2}} 1024;$

5) $49^{1 + log_7 2};$

6) $2^{2log_{81}\frac{1}{2}}.$

2. Решите уравнение:

1) $4^x = 9;$

2) $log_{x+3} 256 = 4.$

3. Найдите значение выражения $\frac{2log_5 6 + log_5 0,75}{log_5 6 - log_5 18}.$

4. Постройте график функции:

1) $y = 8^{log_8 (x + 4)};$

2) $y = log_{x-3} (x - 3).$

5. Найдите $log_{15}5$, если $log_{15}27 = b$.

1. Найдите значение выражения:

1) $log_{0,5}log_{3}81$
Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_{3}81$. Так как $3^4 = 81$, то $log_{3}81 = 4$.
Теперь выражение принимает вид: $log_{0,5}4$.
Пусть $log_{0,5}4 = x$. По определению логарифма, $(0,5)^x = 4$.
Так как $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$, получаем:
$(2^{-1})^x = 2^2$
$2^{-x} = 2^2$
$-x = 2$, откуда $x = -2$.
Ответ: -2

2) $log_{13}26 - log_{13}2$
Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$:
$log_{13}26 - log_{13}2 = log_{13}(\frac{26}{2}) = log_{13}13$.
По определению логарифма, $log_a a = 1$.
$log_{13}13 = 1$.
Ответ: 1

3) $\frac{log_4 0,0001}{log_4 10}$
Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$:
$\frac{log_4 0,0001}{log_4 10} = log_{10} 0,0001$.
Так как $0,0001 = 10^{-4}$, то:
$log_{10} 10^{-4} = -4$.
Ответ: -4

4) $log_{\sqrt{2}}1024$
Пусть $log_{\sqrt{2}}1024 = x$. По определению логарифма, $(\sqrt{2})^x = 1024$.
Представим основание и число в виде степени 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $1024 = 2^{10}$.
$(2^{1/2})^x = 2^{10}$
$2^{x/2} = 2^{10}$
$\frac{x}{2} = 10$, откуда $x = 20$.
Ответ: 20

5) $49^{1+log_7 2}$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$49^{1+log_7 2} = 49^1 \cdot 49^{log_7 2}$.
Представим 49 как $7^2$:
$49 \cdot (7^2)^{log_7 2} = 49 \cdot 7^{2 \cdot log_7 2}$.
Используем свойство логарифма $k \cdot log_a b = log_a (b^k)$:
$49 \cdot 7^{log_7 (2^2)} = 49 \cdot 7^{log_7 4}$.
Используем основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$:
$49 \cdot 4 = 196$.
Ответ: 196

6) $2^{2\log_{81} 2}$
Используем свойство логарифма $k \cdot log_a b = log_a (b^k)$:
$2\log_{81} 2 = \log_{81} (2^2) = \log_{81} 4$.
Выражение принимает вид $2^{\log_{81} 4}$.
Воспользуемся свойством $log_{a^k} b = \frac{1}{k}log_a b$. Так как $81 = 3^4$:
$\log_{81} 4 = \log_{3^4} 4 = \frac{1}{4}\log_3 4$.
Выражение: $2^{\frac{1}{4}\log_3 4} = 2^{\frac{1}{4}\log_3 (2^2)} = 2^{\frac{2}{4}\log_3 2} = 2^{\frac{1}{2}\log_3 2} = 2^{\log_3 (2^{1/2})} = 2^{\log_3 \sqrt{2}}$.
Это и есть значение выражения. Можно также записать его, используя свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$: $(\sqrt{2})^{\log_3 2}$.
Ответ: $2^{\log_3 \sqrt{2}}$

2. Решите уравнение:

1) $4^x = 9$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:
$log_4(4^x) = log_4(9)$.
Используя свойство $log_a(a^b)=b$, получаем:
$x = log_4 9$.
Можно упростить ответ: $x = log_{2^2} (3^2) = \frac{2}{2} log_2 3 = log_2 3$.
Ответ: $log_4 9$ (или $log_2 3$)

2) $log_{x+3} 256 = 4$
По определению логарифма, уравнение равносильно $(x+3)^4 = 256$, при условии, что основание $x+3 > 0$ и $x+3 \neq 1$.
Найдем корень четвертой степени из 256. Так как $4^4 = 256$, то:
$(x+3)^4 = 4^4$.
Отсюда следует, что $x+3 = 4$ или $x+3 = -4$.
1. $x+3 = 4 \implies x = 1$.
2. $x+3 = -4 \implies x = -7$.
Проверим выполнение условий для основания логарифма:
Для $x=1$: основание равно $1+3=4$. Условия $4>0$ и $4 \neq 1$ выполнены. Корень подходит.
Для $x=-7$: основание равно $-7+3=-4$. Условие $-4>0$ не выполнено. Корень не подходит.
Ответ: 1

3. Найдите значение выражения $\frac{2log_5 6 + log_5 0,75}{log_5 6 - log_5 18}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $2log_5 6 + log_5 0,75 = log_5(6^2) + log_5(0,75) = log_5 36 + log_5(\frac{3}{4}) = log_5(36 \cdot \frac{3}{4}) = log_5(9 \cdot 3) = log_5 27$.
Знаменатель: $log_5 6 - log_5 18 = log_5(\frac{6}{18}) = log_5(\frac{1}{3})$.
Выражение принимает вид: $\frac{log_5 27}{log_5(1/3)}$.
Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$:
$\frac{log_5 27}{log_5(1/3)} = log_{1/3} 27$.
Пусть $log_{1/3} 27 = y$. Тогда $(\frac{1}{3})^y = 27$.
$(3^{-1})^y = 3^3 \implies 3^{-y} = 3^3 \implies -y=3 \implies y=-3$.
Ответ: -3

4. Постройте график функции:

1) $y = 8^{log_8 (x + 4)}$
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
2. На ОДЗ используем основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$:
$y = x+4$.
3. Графиком функции является прямая $y=x+4$ с ограничением $x > -4$. Это луч, который начинается в точке $(-4, 0)$, причем сама точка не включена (изображается выколотой точкой), и проходит, например, через точку $(0, 4)$.
Ответ: График — луч прямой $y=x+4$, начинающийся из выколотой точки $(-4, 0)$ и идущий вправо вверх.

2) $y = log_{x-3} (x - 3)$
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Основание логарифма должно быть строго положительным и не равняться единице:
$x-3 > 0 \implies x > 3$.
$x-3 \neq 1 \implies x \neq 4$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; \infty)$.
2. На ОДЗ используем свойство $log_a a = 1$:
$y = 1$.
3. Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$ с ограничениями из ОДЗ. Это два луча: один на интервале $(3; 4)$, другой на интервале $(4; \infty)$. Точки с абсциссами 3 и 4 не включены (выколоты).
Ответ: График — два луча прямой $y=1$. Первый — от точки $(3, 1)$ до $(4, 1)$, не включая концы. Второй — от точки $(4, 1)$ вправо в бесконечность, не включая начало.

5. Найдите $log_{15} 5$, если $log_{15} 27 = b$.

Преобразуем данное условие $log_{15} 27 = b$:
$log_{15}(3^3) = b$
$3 \cdot log_{15} 3 = b$
$log_{15} 3 = \frac{b}{3}$.
Теперь выразим искомый логарифм. Представим число 5 как $\frac{15}{3}$:
$log_{15} 5 = log_{15}(\frac{15}{3})$.
Используем свойство разности логарифмов:
$log_{15}(\frac{15}{3}) = log_{15} 15 - log_{15} 3$.
Так как $log_{15} 15 = 1$ и $log_{15} 3 = \frac{b}{3}$, подставляем эти значения:
$log_{15} 5 = 1 - \frac{b}{3}$.
Ответ: $1 - \frac{b}{3}$