Номер 22, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Для решения этой задачи используется формула Бернулли, поскольку речь идет о серии независимых испытаний (выстрелов) с двумя возможными исходами (попадание или промах) и постоянной вероятностью успеха в каждом испытании.

Определим параметры задачи:
- число испытаний (выстрелов) $n = 8$;
- желаемое число успехов (попаданий) $k = 5$;
- вероятность успеха (попадания) в одном испытании $p = \frac{3}{5}$;
- вероятность неудачи (промаха) $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

Формула Бернулли для вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях имеет вид: $$ P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} $$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (биномиальный коэффициент).

Подставляем известные значения в формулу: $$ P_8(5) = C_8^5 \left(\frac{3}{5}\right)^5 \left(\frac{2}{5}\right)^{8-5} = C_8^5 \left(\frac{3}{5}\right)^5 \left(\frac{2}{5}\right)^3 $$ Сначала вычислим биномиальный коэффициент: $$ C_8^5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 $$ Теперь вычислим итоговую вероятность: $$ P_8(5) = 56 \cdot \frac{3^5}{5^5} \cdot \frac{2^3}{5^3} = 56 \cdot \frac{243}{3125} \cdot \frac{8}{125} = \frac{56 \cdot 243 \cdot 8}{5^8} = \frac{108864}{390625} $$ Вероятность того, что при восьми выстрелах в мишень попадут ровно 5 раз, составляет $\frac{108864}{390625}$ (приблизительно $0,2787$).
Ответ: $\frac{108864}{390625}$

2. Эта задача также решается с помощью схемы Бернулли, так как каждый бросок кубика является независимым испытанием.

Определим параметры:
- число испытаний (бросков) $n = 7$;
- событие "успех" — выпадение чётного числа (на кубике это 2, 4 или 6);
- вероятность успеха в одном испытании $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$;
- вероятность неудачи (выпадение нечётного числа) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

3. Случайная величина $z$ подчиняется биномиальному закону распределения с заданными параметрами. Требуется найти вероятность того, что $z$ примет значение в указанном интервале.

Параметры распределения:
- число испытаний $n = 5$;
- вероятность успеха $p = 0,6$;
- вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.

Требуется найти $P(2 \le z < 4)$. Так как $z$ - это дискретная случайная величина (может принимать только целые значения), это неравенство означает, что $z$ может быть равно 2 или 3. Таким образом, искомая вероятность равна сумме вероятностей: $$ P(2 \le z < 4) = P(z=2) + P(z=3) $$ Для вычисления каждой вероятности используем формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Вычислим $P(z=2)$: $$ P(z=2) = P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,6)^2 \cdot (0,4)^{5-2} = C_5^2 \cdot (0,6)^2 \cdot (0,4)^3 $$ $$ C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 $$ $$ P(z=2) = 10 \cdot 0,36 \cdot 0,064 = 0,2304 $$

Вычислим $P(z=3)$: $$ P(z=3) = P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^{5-3} = C_5^3 \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^2 $$ $$ C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 $$ $$ P(z=3) = 10 \cdot 0,216 \cdot 0,16 = 0,3456 $$

Теперь сложим полученные вероятности: $$ P(2 \le z < 4) = 0,2304 + 0,3456 = 0,576 $$ Ответ: $0,576$