Номер 19, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Условная вероятность

1. Известно, что $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ и $P(A \cup B) = 0,5$. Найдите:

1) $P(A \cap B)$;

2) $P_A(B)$;

3) $P_B(A)$.

2. Из коробки, в которой лежат 20 синих и 15 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был синим. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным. Составьте дендрограмму этого опыта.

3. Среди слушателей курсов иностранных языков есть те, кто изучает английский и французский языки. Вероятность того, что наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык, равна 40%, а французский — 25%. Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих французский составляет 15%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий французский язык, также изучает английский.

1) $P(A \cap B)$

Для нахождения вероятности пересечения событий A и B воспользуемся формулой сложения вероятностей для двух событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Выразим из этой формулы искомую вероятность: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.

Подставим известные значения: $P(A \cap B) = 0,4 + 0,3 - 0,5 = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

2) $P_A(B)$

Условная вероятность $P_A(B)$ (вероятность события B при условии, что событие A произошло) вычисляется по формуле: $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Подставим известные и ранее найденные значения: $P_A(B) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

3) $P_B(A)$

Условная вероятность $P_B(A)$ (вероятность события A при условии, что событие B произошло) вычисляется по формуле: $P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Подставим известные значения: $P_B(A) = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2.

Всего в коробке находится $20 \text{ синих} + 15 \text{ красных} = 35$ шаров. Опыт состоит в последовательном извлечении двух шаров без возвращения.

Пусть событие $С_1$ — первый извлеченный шар синий, а событие $К_2$ — второй извлеченный шар красный.

Требуется найти условную вероятность $P(К_2|С_1)$, то есть вероятность того, что второй шар будет красным, при условии, что первый шар был синим.

Если первый извлеченный шар был синим, то в коробке осталось $35 - 1 = 34$ шара. Среди них количество синих шаров уменьшилось на один ($20 - 1 = 19$), а количество красных осталось прежним (15).

Следовательно, вероятность извлечь вторым красный шар равна отношению числа красных шаров к новому общему числу шаров:

$P(К_2|С_1) = \frac{15}{34}$

Дендрограмма этого опыта:

Начало
┣━ Первый шар синий ($С_1$), $P(С_1) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$
┃ ┣━ Второй шар синий ($С_2$), $P(С_2|С_1) = \frac{19}{34}$
┃ ┗━ Второй шар красный ($К_2$), $P(К_2|С_1) = \frac{15}{34}$
┗━ Первый шар красный ($К_1$), $P(К_1) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$
┣━ Второй шар синий ($С_2$), $P(С_2|К_1) = \frac{20}{34} = \frac{10}{17}$
┗━ Второй шар красный ($К_2$), $P(К_2|К_1) = \frac{14}{34} = \frac{7}{17}$

Ответ: $\frac{15}{34}$.

3.

Введем обозначения событий: А — наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык; Ф — наугад выбранный слушатель курсов изучает французский язык.

Из условия задачи известны следующие вероятности: вероятность изучения английского языка $P(А) = 40\% = 0,4$ и вероятность изучения французского языка $P(Ф) = 25\% = 0,25$.

Условие "Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих французский составляет 15%" задает условную вероятность того, что слушатель изучает французский, при условии, что он уже изучает английский: $P(Ф|А) = 15\% = 0,15$.

Требуется найти вероятность того, что слушатель, изучающий французский, также изучает английский. Это соответствует условной вероятности $P(А|Ф)$.

Для нахождения $P(А|Ф)$ воспользуемся формулой условной вероятности: $P(А|Ф) = \frac{P(А \cap Ф)}{P(Ф)}$.

Вероятность пересечения событий $P(А \cap Ф)$ (слушатель изучает оба языка) можно найти из формулы для $P(Ф|А)$: $P(Ф|А) = \frac{P(А \cap Ф)}{P(А)}$. Отсюда следует, что $P(А \cap Ф) = P(Ф|А) \cdot P(А)$.

Вычислим $P(А \cap Ф)$: $P(А \cap Ф) = 0,15 \cdot 0,4 = 0,06$.

Теперь подставим найденное значение в формулу для искомой вероятности $P(А|Ф)$:

$P(А|Ф) = \frac{0,06}{0,25} = \frac{6}{25} = 0,24$.

Ответ: $0,24$.