Номер 1, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция

1. Найдите значение выражения:

1) $6(\sqrt{3}+1)^2 : 6^{2}\sqrt{3}$;

2) $7^{\sqrt{27}} : 49^{\sqrt{3}}$;

3) $((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$.

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{7}}-5)(a^{\sqrt{7}}+5)-(a^{\sqrt{7}}+2)^2$;

2) $\frac{a^{2\sqrt{2}}+3a^{\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{2}}-9}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $4^{0,7}$ и $4^{\sqrt{3}}$;

2) $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$;

3) $(\sqrt{3}-1)^{-3,4}$ и $(\sqrt{3}-1)^{-3,3}$;

4) $(3-\sqrt{8})^{3,4}$ и $(3+\sqrt{8})^{-3,5}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -8^x$;

2) $y = (\frac{1}{8})^x + 6$;

3) $y = 8^{|x|}$;

4) $y = (\frac{1}{7})^{\sin x} - 4$.

5. Постройте график функции:

1) $y = (\frac{1}{2})^{x-2}$;

2) $y = |3^x - 1|$.

6. Решите неравенство:

$2^{|x|}+3 \le 3\cos x + 5$.

1. Найдите значение выражения:

1) $6^{(\sqrt{3} + 1)^2} : 6^{2\sqrt{3}}$
Сначала упростим показатель первого множителя: $(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, вычитая показатели:
$6^{4 + 2\sqrt{3}} : 6^{2\sqrt{3}} = 6^{(4 + 2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}} = 6^4 = 1296$.
Ответ: $1296$.

2) $7^{\sqrt{27}} : 49^{\sqrt{3}}$
Упростим показатели и приведем степени к одному основанию $7$:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
$49^{\sqrt{3}} = (7^2)^{\sqrt{3}} = 7^{2\sqrt{3}}$.
Теперь выполним деление:
$7^{3\sqrt{3}} : 7^{2\sqrt{3}} = 7^{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}} = 7^{\sqrt{3}}$.
Ответ: $7^{\sqrt{3}}$.

3) $((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ последовательно:
$((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = (10^{1/3})^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = (10^{1/3})^6 = 10^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 10^2 = 100$.
Ответ: $100$.

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{7}}-5)(a^{\sqrt{7}}+5) - (a^{\sqrt{7}}+2)^2$
Применим формулу разности квадратов для первого произведения и формулу квадрата суммы для второго слагаемого:
$(a^{\sqrt{7}})^2 - 5^2 - ((a^{\sqrt{7}})^2 + 2 \cdot a^{\sqrt{7}} \cdot 2 + 2^2) = (a^{2\sqrt{7}} - 25) - (a^{2\sqrt{7}} + 4a^{\sqrt{7}} + 4)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^{2\sqrt{7}} - 25 - a^{2\sqrt{7}} - 4a^{\sqrt{7}} - 4 = -4a^{\sqrt{7}} - 29$.
Ответ: $-4a^{\sqrt{7}} - 29$.

2) $\frac{a^{2\sqrt{2}} + 3a^{\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{2}} - 9}$
Пусть $x = a^{\sqrt{2}}$. Тогда выражение примет вид $\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}$.
Сократим дробь на $(x+3)$ (при $x \neq -3$, что всегда верно, так как $a^{\sqrt{2}} > 0$):
$\frac{x}{x-3}$.
Вернемся к исходной переменной:
$\frac{a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}}-3}$.
Ответ: $\frac{a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}}-3}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $4^{0,7}$ и $4^{2/3}$
Сравним показатели степени $0,7$ и $2/3$.
$0,7 = 7/10$. Приведем дроби к общему знаменателю $30$: $7/10 = 21/30$ и $2/3 = 20/30$.
Так как $21/30 > 20/30$, то $0,7 > 2/3$.
Основание степени $4 > 1$, поэтому показательная функция $y=4^x$ возрастающая. Большему значению показателя соответствует большее значение степени.
Следовательно, $4^{0,7} > 4^{2/3}$.
Ответ: $4^{0,7} > 4^{2/3}$.

2) $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$
Представим $1$ как $0,8^0$. Сравним $0,8^0$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$.
Сравним показатели $0$ и $-\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $0 > -\sqrt{3}$.
Основание степени $0,8 < 1$, поэтому показательная функция $y=0,8^x$ убывающая. Большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.
Следовательно, $0,8^0 < 0,8^{-\sqrt{3}}$, то есть $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.
Ответ: $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.

3) $(\sqrt{3}-1)^{-3,4}$ и $(\sqrt{3}-1)^{-3,3}$
Основание степени $\sqrt{3}-1 \approx 1,732 - 1 = 0,732$. Так как $0 < \sqrt{3}-1 < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей.
Сравним показатели: $-3,4 < -3,3$.
Для убывающей функции меньшему значению показателя соответствует большее значение степени.
Следовательно, $(\sqrt{3}-1)^{-3,4} > (\sqrt{3}-1)^{-3,3}$.
Ответ: $(\sqrt{3}-1)^{-3,4} > (\sqrt{3}-1)^{-3,3}$.

4) $(3-\sqrt{8})^{3,4}$ и $(3+\sqrt{8})^{-3,5}$
Заметим, что $(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8}) = 3^2 - (\sqrt{8})^2 = 9-8=1$.
Отсюда $3-\sqrt{8} = \frac{1}{3+\sqrt{8}} = (3+\sqrt{8})^{-1}$.
Преобразуем первое выражение: $(3-\sqrt{8})^{3,4} = ((3+\sqrt{8})^{-1})^{3,4} = (3+\sqrt{8})^{-3,4}$.
Теперь сравним $(3+\sqrt{8})^{-3,4}$ и $(3+\sqrt{8})^{-3,5}$.
Основание $3+\sqrt{8} > 1$, поэтому функция является возрастающей.
Сравним показатели: $-3,4 > -3,5$.
Для возрастающей функции большему значению показателя соответствует большее значение степени.
Следовательно, $(3+\sqrt{8})^{-3,4} > (3+\sqrt{8})^{-3,5}$, а значит $(3-\sqrt{8})^{3,4} > (3+\sqrt{8})^{-3,5}$.
Ответ: $(3-\sqrt{8})^{3,4} > (3+\sqrt{8})^{-3,5}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -8^x$
Область значений функции $f(x)=8^x$ есть $(0; +\infty)$.
Функция $y = -8^x$ получается отражением графика $f(x)$ относительно оси Ox, поэтому ее значения будут противоположны по знаку.
Следовательно, область значений $y$ есть $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2) $y = (\frac{1}{8})^x + 6$
Область значений функции $f(x)=(\frac{1}{8})^x$ есть $(0; +\infty)$, то есть $(\frac{1}{8})^x > 0$.
Тогда $y = (\frac{1}{8})^x + 6 > 0 + 6 = 6$.
Следовательно, область значений $y$ есть $(6; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (6; +\infty)$.

3) $y = 8^{|x|}$
Показатель степени $|x|$ принимает значения из промежутка $[0; +\infty)$.
Так как основание $8>1$, функция $f(t)=8^t$ возрастающая. Наименьшее значение будет при наименьшем показателе, то есть при $|x|=0$.
$y_{min} = 8^0 = 1$.
Следовательно, область значений функции есть $[1; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

4) $y = (\frac{1}{7})^{|\sin x|} - 4$
Значения $\sin x$ лежат в отрезке $[-1; 1]$, поэтому $|\sin x|$ принимает значения из отрезка $[0; 1]$.
Функция $f(t)=(\frac{1}{7})^t$ является убывающей, так как основание $1/7 < 1$.
Поэтому, при $0 \le |\sin x| \le 1$ выполняется двойное неравенство:
$(\frac{1}{7})^1 \le (\frac{1}{7})^{|\sin x|} \le (\frac{1}{7})^0$, то есть $\frac{1}{7} \le (\frac{1}{7})^{|\sin x|} \le 1$.
Вычитая $4$ из всех частей, получаем:
$\frac{1}{7} - 4 \le y \le 1 - 4$, то есть $-\frac{27}{7} \le y \le -3$.
Область значений функции есть $[-\frac{27}{7}; -3]$.
Ответ: $E(y) = [-\frac{27}{7}; -3]$.

5. Постройте график функции:

1) $y = (\frac{1}{2})^{x-2}$
График этой функции получается из графика функции $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
Базовый график $y = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
После сдвига, график функции $y = (\frac{1}{2})^{x-2}$ также будет убывающей кривой. Он будет проходить через точку $(2,1)$ (так как $y(2) = (\frac{1}{2})^{2-2} = 1$), а горизонтальная асимптота останется $y=0$.
Ответ: График — убывающая экспоненциальная кривая, проходящая через точки $(1, 2), (2, 1), (3, 0.5)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

2) $y = |3^x - 1|$
Построение графика выполняется в три этапа:
1. Строим график $y=3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через $(0,1)$.
2. Строим график $y=3^x - 1$, сдвигая предыдущий график на 1 единицу вниз. Он проходит через $(0,0)$, асимптота $y=-1$.
3. Строим график $y=|3^x - 1|$. Часть графика $y=3^x-1$, которая находится ниже оси Ox (при $x<0$), отражается симметрично относительно оси Ox. Часть, которая выше (при $x \ge 0$), остается на месте.
Итоговый график имеет "излом" в точке $(0,0)$ и горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$.
Ответ: График имеет излом в точке $(0,0)$, горизонтальную асимптоту $y=1$ слева, и неограниченно возрастает справа.

6. Решите неравенство $2^{|x|} + 3 \le 3\cos x + 5$.

Заметим, что данное неравенство, скорее всего, содержит опечатку. В стандартных задачах такого типа решение обычно находится методом оценки (граничных значений). Если предположить, что в правой части вместо 5 должно быть 1, то есть $2^{|x|} + 3 \le 3\cos x + 1$, задача решается следующим образом:

Оценим левую и правую части неравенства $2^{|x|} + 3 \le 3\cos x + 1$.
Левая часть: $f(x) = 2^{|x|} + 3$. Так как $|x| \ge 0$, то $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Следовательно, $f(x) = 2^{|x|} + 3 \ge 1+3=4$. Наименьшее значение левой части равно 4 и достигается только при $x=0$.
Правая часть: $g(x) = 3\cos x + 1$. Так как $\cos x \le 1$, то $3\cos x \le 3$. Следовательно, $g(x) = 3\cos x + 1 \le 3+1=4$. Наибольшее значение правой части равно 4 и достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Неравенство $f(x) \le g(x)$ может выполняться только в том случае, когда обе части одновременно равны 4, так как $f(x) \ge 4$ и $g(x) \le 4$.
Система уравнений:
$\begin{cases} 2^{|x|} + 3 = 4 \\ 3\cos x + 1 = 4 \end{cases}$
Из первого уравнения: $2^{|x|} = 1$, что дает $|x|=0$, то есть $x=0$.
Из второго уравнения: $3\cos x = 3$, что дает $\cos x = 1$, то есть $x=2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Единственное решение, удовлетворяющее обоим уравнениям, это $x=0$.
Ответ: $0$.