Номер 2, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $0,04^x - 6 = 5^x + 4;$

2) $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20;$

3) $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0;$

4) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3;$

5) $4^x + 6^x - 2 \cdot 9^x = 0;$

6) $7^x = 51 - x.$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $25^x - (a + 7) \cdot 5^x + 5a + 10 = 0$ имеет один действительный корень?

1) Решим уравнение $0.04^{x-6} = 5^{x+4}$.
Преобразуем основание $0.04$ к основанию $5$:
$0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(5^{-2})^{x-6} = 5^{x+4}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{-2(x-6)} = 5^{x+4}$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$-2(x-6) = x+4$
$-2x + 12 = x + 4$
$12 - 4 = x + 2x$
$8 = 3x$
$x = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Решим уравнение $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20$.
Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$.
Уравнение принимает вид:
$2^x + 3 \cdot \frac{2^x}{2} = 20$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(1 + \frac{3}{2}) = 20$
$2^x(\frac{2}{2} + \frac{3}{2}) = 20$
$2^x \cdot \frac{5}{2} = 20$
Теперь выразим $2^x$:
$2^x = 20 \cdot \frac{2}{5}$
$2^x = 4 \cdot 2$
$2^x = 8$.
Представим $8$ как степень числа $2$: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$
$x=3$.
Ответ: 3.

3) Решим уравнение $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $5^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 30t + 125 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 30, а произведение равно 125. Легко подобрать корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1. $5^x = t_1 \implies 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.
2. $5^x = t_2 \implies 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x = 2$.
Ответ: 1; 2.

4) Решим уравнение $4^{\cos(2x)} + 4^{\cos^2(x)} = 3$.
Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.
Подставим это в уравнение:
$4^{2\cos^2(x)-1} + 4^{\cos^2(x)} = 3$.
Преобразуем первое слагаемое: $4^{2\cos^2(x)-1} = \frac{4^{2\cos^2(x)}}{4} = \frac{(4^{\cos^2(x)})^2}{4}$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{(4^{\cos^2(x)})^2}{4} + 4^{\cos^2(x)} = 3$.
Сделаем замену: пусть $t = 4^{\cos^2(x)}$. Так как $0 \le \cos^2(x) \le 1$, то $4^0 \le 4^{\cos^2(x)} \le 4^1$, следовательно $1 \le t \le 4$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$\frac{t^2}{4} + t - 3 = 0$.
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 + 4t - 12 = 0$.
Найдем корни по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -12$, $t_1 + t_2 = -4$. Корни $t_1 = -6$ и $t_2 = 2$.
Проверим корни на соответствие условию $1 \le t \le 4$:
$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию.
$t_2 = 2$ удовлетворяет условию.
Вернемся к замене:
$4^{\cos^2(x)} = 2$
$(2^2)^{\cos^2(x)} = 2^1$
$2^{2\cos^2(x)} = 2^1$.
Приравниваем показатели:
$2\cos^2(x) = 1 \implies \cos^2(x) = \frac{1}{2}$.
Отсюда $\cos(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $4^x + 6^x - 2 \cdot 9^x = 0$.
Это однородное показательное уравнение. Представим основания степеней через простые множители: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$.
$(2^2)^x + (2 \cdot 3)^x - 2 \cdot (3^2)^x = 0$
$(2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0$.
Разделим обе части уравнения на $(3^x)^2$, которое не равно нулю ни при каких $x$:
$\frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - 2\frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$
$(\frac{2^x}{3^x})^2 + \frac{2^x}{3^x} - 2 = 0$
$(\frac{2}{3})^{2x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$.
Сделаем замену: пусть $t = (\frac{2}{3})^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 2 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t>0$.
Остается один корень $t_1 = 1$.
Вернемся к замене:
$(\frac{2}{3})^x = 1$.
Так как любое число в степени 0 равно 1, то $x=0$.
Ответ: 0.

6) Решим уравнение $7^x = 51 - x$.
Рассмотрим две функции: $f(x) = 7^x$ и $g(x) = 51 - x$.
Функция $f(x) = 7^x$ является показательной с основанием больше 1, следовательно, она строго возрастает на всей числовой оси.
Функция $g(x) = 51 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, она строго убывает на всей числовой оси.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором, проверяя целые значения $x$.
При $x=1$: $7^1 = 7$, $51-1=50$. $7 \ne 50$.
При $x=2$: $7^2 = 49$, $51-2=49$. Равенство $49=49$ верно.
Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то это и есть решение.
Ответ: 2.

2. Найдем, при каких значениях параметра $a$ уравнение $25^x - (a+7) \cdot 5^x + 5a + 10 = 0$ имеет один действительный корень.
Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение является квадратным относительно $5^x$.
Произведем замену переменной: пусть $t = 5^x$. Поскольку $x$ — действительное число, $t$ должно быть строго положительным ($t > 0$). Каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x = \log_5(t)$.
Уравнение в новых переменных:
$t^2 - (a+7)t + (5a+10) = 0$.
Исходное уравнение имеет один действительный корень тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.
Возможны два случая:
1) Уравнение имеет один (кратный) корень, и этот корень положителен.
2) Уравнение имеет два различных корня, один из которых положителен, а другой — неположителен (т.е. $\le 0$).
Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:
$D = (a+7)^2 - 4(5a+10) = a^2 + 14a + 49 - 20a - 40 = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.
Поскольку $D = (a-3)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Корни уравнения: $t = \frac{a+7 \pm \sqrt{(a-3)^2}}{2} = \frac{a+7 \pm |a-3|}{2}$.

Рассмотрим случаи в зависимости от значения $a$.
Случай 1: $a = 3$
$D = (3-3)^2 = 0$. Уравнение имеет один кратный корень:
$t = \frac{3+7}{2} = 5$.
Корень $t=5$ положителен. Ему соответствует один корень $x = \log_5(5) = 1$.
Значит, $a=3$ является решением.

Случай 2: $a \ne 3$
$D > 0$. Уравнение имеет два различных корня.
Подслучай 2а: $a > 3$
$|a-3| = a-3$.
$t_1 = \frac{a+7 + (a-3)}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$.
$t_2 = \frac{a+7 - (a-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Поскольку $a>3$, то $a+2 > 5$. Оба корня $t_1$ и $t_2$ положительны, что дает два решения для $x$. Этот случай не подходит.
Подслучай 2б: $a < 3$
$|a-3| = -(a-3) = 3-a$.
$t_1 = \frac{a+7 + (3-a)}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$t_2 = \frac{a+7 - (3-a)}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$.
Один корень $t_1 = 5$ всегда положителен, он дает одно решение для $x$. Чтобы итоговое решение для $x$ было единственным, второй корень $t_2$ не должен давать решений, то есть должен быть неположительным: $t_2 \le 0$.
$a+2 \le 0 \implies a \le -2$.
Это условие ($a \le -2$) согласуется с условием подслучая ($a < 3$).
Следовательно, все $a \le -2$ являются решениями.

Объединяя результаты из случая 1 и подслучая 2б, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a=3$ или при $a \le -2$.
Ответ: $a \in (-\infty, -2] \cup \{3\}$.