Номер 7, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

1) $ \log_5(5x - 1) > \log_5(2 - 3x); $

2) $ \log_2(2x - 4) < \log_2(x^2 - 3x + 2); $

3) $ \log_{0,8} x + \log_{0,8}(x + 1) \le \log_{0,8}(8 - x); $

4) $ \log^2_{0,1}(-x) + 0,5\log_{0,1} x^2 \le 2; $

5) $ \log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1. $

1) $\log_5(5x - 1) > \log_5(2 - 3x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 5x - 1 > 0 \\ 2 - 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x > 1 \\ 3x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{5} \\ x < \frac{2}{3} \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{2}{3})$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$5x - 1 > 2 - 3x$
$5x + 3x > 2 + 1$
$8x > 3$
$x > \frac{3}{8}$
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x > \frac{3}{8} \\ \frac{1}{5} < x < \frac{2}{3} \end{cases}$.
Поскольку $\frac{1}{5} = 0.2$, а $\frac{3}{8} = 0.375$, то $\frac{1}{5} < \frac{3}{8}$. Пересечением является интервал $(\frac{3}{8}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{3}{8}, \frac{2}{3})$

2) $\log_2(2x - 4) < \log_2(x^2 - 3x + 2)$

1. Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства: $2x > 4 \Rightarrow x > 2$.
Для второго неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=2$. Неравенство $(x-1)(x-2) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
Пересекая условия $x > 2$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$, получаем ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.
2. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$2x - 4 < x^2 - 3x + 2$
$0 < x^2 - 5x + 6$
Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $x_1=2, x_2=3$. Неравенство $(x-2)(x-3) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
3. Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (2, \infty)$:
$(-\infty, 2) \cup (3, \infty) \cap (2, \infty) \Rightarrow x \in (3, \infty)$.

Ответ: $(3, \infty)$

3) $\log_{0,8} x + \log_{0,8}(x + 1) \le \log_{0,8}(8 - x)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x < 8 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (0, 8)$.
2. Используя свойство суммы логарифмов, преобразуем левую часть:
$\log_{0,8}(x(x+1)) \le \log_{0,8}(8 - x)$
3. Основание логарифма $0.8$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x(x+1) \ge 8 - x$
$x^2 + x \ge 8 - x$
$x^2 + 2x - 8 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ равны $x_1=-4, x_2=2$. Неравенство $(x+4)(x-2) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
4. Найдем пересечение с ОДЗ $x \in (0, 8)$:
$(-\infty, -4] \cup [2, \infty) \cap (0, 8) \Rightarrow x \in [2, 8)$.

Ответ: $[2, 8)$

4) $\log_{0,1}^2(-x) + 0,5\log_{0,1} x^2 \le 2$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -x > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0)$.
2. Упростим второе слагаемое: $0,5\log_{0,1} x^2 = \log_{0,1} (x^2)^{0,5} = \log_{0,1} |x|$. Так как по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Неравенство принимает вид: $\log_{0,1}^2(-x) + \log_{0,1}(-x) \le 2$.
3. Сделаем замену $t = \log_{0,1}(-x)$. Получаем квадратное неравенство:
$t^2 + t - 2 \le 0$
Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1=-2, t_2=1$. Решение неравенства: $-2 \le t \le 1$.
4. Выполним обратную замену:
$-2 \le \log_{0,1}(-x) \le 1$
Так как основание $0.1 < 1$, при потенцировании знаки неравенства меняются:
$(0,1)^1 \ge -x \ge (0,1)^{-2}$
$0,1 \ge -x \ge 100$
Умножим все части на -1, снова изменив знаки неравенства:
$-0,1 \le x \le -100$
Это равносильно $-100 \le x \le -0,1$.
5. Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $[-100, -0,1]$

5) $\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 2x > 0 \\ 2x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-2)(x-3) > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1/2 \end{cases}$
Из первого неравенства $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, 2) \cup (3, \infty)$.
2. Представим $1$ как $\log_{2x}(2x)$. Неравенство примет вид:
$\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < \log_{2x}(2x)$
Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.
Случай 1: Основание $0 < 2x < 1$, то есть $0 < x < 1/2$. В этом случае знак неравенства меняется.
$x^2 - 5x + 6 > 2x \Rightarrow x^2 - 7x + 6 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-6) > 0$.
Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty)$.
Пересечение с условием $0 < x < 1/2$ дает $x \in (0, 1/2)$.
Случай 2: Основание $2x > 1$, то есть $x > 1/2$. В этом случае знак неравенства сохраняется.
$x^2 - 5x + 6 < 2x \Rightarrow x^2 - 7x + 6 < 0 \Rightarrow (x-1)(x-6) < 0$.
Решение: $x \in (1, 6)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ для данного случая, то есть с $x \in (1/2, 2) \cup (3, \infty)$.
Пересечение $(1, 6)$ и $(1/2, 2) \cup (3, \infty)$ дает $x \in (1, 2) \cup (3, 6)$.
3. Объединим решения из обоих случаев: $x \in (0, 1/2) \cup (1, 2) \cup (3, 6)$.

Ответ: $(0, 1/2) \cup (1, 2) \cup (3, 6)$