Номер 14, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1) Для числа $z = -4$ имеем действительную часть $x = -4$ и мнимую часть $y = 0$.

Найдем модуль числа $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Аргумент:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-4}{4} = -1$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{0}{4} = 0$
Отсюда следует, что $\varphi = \pi$.

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = 4(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Ответ: $4(\cos \pi + i \sin \pi)$.

2) Для числа $z = 9i$ имеем $x = 0$ и $y = 9$.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9$.

Аргумент:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{0}{9} = 0$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{9}{9} = 1$
Отсюда $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма: $z = 9(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $9(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

3) Для числа $z = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$ имеем $x = 2\sqrt{2}$ и $y = 2\sqrt{2}$.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$.

Аргумент:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $4(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

4) Сначала преобразуем число $z = \frac{1+5i}{1-i}$ в алгебраическую форму $x+yi$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $(1+i)$:

$z = \frac{1+5i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{1 + i + 5i + 5i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 6i - 5}{1 - (-1)} = \frac{-4 + 6i}{2} = -2 + 3i$.

Теперь для $z = -2 + 3i$ имеем $x = -2$ и $y = 3$.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

Аргумент $\varphi$ определяется из системы:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{\sqrt{13}}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{3}{\sqrt{13}}$
Так как $\cos \varphi < 0$ и $\sin \varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй четверти. Его можно выразить через арккосинус: $\varphi = \arccos(-\frac{2}{\sqrt{13}})$.

Тригонометрическая форма: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.

Ответ: $\sqrt{13}\left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\right) + i \sin\left(\arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\right)\right)$.

1) Условие $\text{Im } z = -2$ означает, что мнимая часть комплексного числа $z = x+yi$ равна -2, то есть $y=-2$.

Это уравнение задает на комплексной плоскости горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, -2)$ (или $-2i$) параллельно действительной оси $\text{Re } z$.

Ответ: Прямая $y = -2$ на комплексной плоскости.

2) Условие $z\bar{z} \le 9$.

Используем свойство комплексных чисел $z\bar{z} = |z|^2$. Тогда неравенство принимает вид $|z|^2 \le 9$, или, так как $|z| \ge 0$, $|z| \le 3$.

Для $z = x+yi$ имеем $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$, поэтому неравенство можно записать как $\sqrt{x^2+y^2} \le 3$, или $x^2+y^2 \le 3^2$.

Это неравенство описывает множество точек, находящихся внутри и на границе круга с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом 3.

Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 3.

3) Условие $|z + 2i| > 2$.

Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. Перепишем неравенство в виде $|z - (-2i)| > 2$.

Это означает, что расстояние от точки $z$ до точки $-2i$ (координаты $(0, -2)$) должно быть строго больше 2.

Искомое множество — это все точки, лежащие вне круга с центром в точке $-2i$ и радиусом 2. Граница круга (окружность) в решение не входит.

Ответ: Внешность круга с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 2, не включая границу.

4) Условие $|z + 3| = |z + 1 - i|$.

Перепишем уравнение в виде $|z - (-3)| = |z - (-1 + i)|$.

Это уравнение описывает множество точек $z$, равноудаленных от двух точек: $z_1 = -3$ (координаты $(-3, 0)$) и $z_2 = -1+i$ (координаты $(-1, 1)$).

Геометрически такое множество является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $z_1$ и $z_2$.

Найдем уравнение этой прямой. Пусть $z = x+yi$:

$| (x+3) + yi | = | (x+1) + (y-1)i |$

$\sqrt{(x+3)^2 + y^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x+3)^2 + y^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2$

$x^2 + 6x + 9 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1$

$6x + 9 = 2x - 2y + 2$

$4x + 2y + 7 = 0$

Это уравнение искомой прямой.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $4x + 2y + 7 = 0$ на комплексной плоскости.