Номер 19, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Условная вероятность

1. Известно, что $P_A(B) = 0,4$, $P_B(A) = 0,32$ и $P(A \cap B) = 0,08$.
Найдите:

1) $P(A)$; 2) $P(B)$; 3) $P(A \cup B)$.

2. Из коробки, в которой лежат 17 жёлтых и 12 зелёных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был жёлтым. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется зелёным. Составьте дендрограмму этого опыта.

3. Среди слушателей курсов иностранных языков есть те, кто изучает английский и испанский языки. Вероятность того, что наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык, равна 50%, а испанский — 20%. Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих испанский составляет 16%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий испанский язык, также изучает английский.

1.

1) P(A);
Для нахождения $P(A)$ воспользуемся формулой условной вероятности: $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Из условия известно, что $P_A(B) = 0,4$ и $P(A \cap B) = 0,08$.
Выразим $P(A)$ из формулы: $P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P_A(B)}$.
Подставим числовые значения: $P(A) = \frac{0,08}{0,4} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

2) P(B);
Аналогично, используем формулу условной вероятности для $P_B(A)$: $P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Из условия известно, что $P_B(A) = 0,32$ и $P(A \cap B) = 0,08$.
Выразим $P(B)$ из формулы: $P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P_B(A)}$.
Подставим числовые значения: $P(B) = \frac{0,08}{0,32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25.

3) P(A U B).
Для нахождения вероятности объединения событий $A$ и $B$ воспользуемся формулой сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Из предыдущих пунктов мы нашли $P(A) = 0,2$ и $P(B) = 0,25$. Из условия дано $P(A \cap B) = 0,08$.
Подставим значения в формулу: $P(A \cup B) = 0,2 + 0,25 - 0,08 = 0,45 - 0,08 = 0,37$.
Ответ: 0,37.

2.

Пусть событие Ж1 — первый вынутый шар жёлтый, а событие З2 — второй вынутый шар зелёный. Требуется найти условную вероятность $P(З2|Ж1)$.
Изначально в коробке находятся 17 жёлтых и 12 зелёных шаров, всего шаров: $17 + 12 = 29$.
По условию, первый шар, который вынули, был жёлтым. Это означает, что в коробке осталось $29 - 1 = 28$ шаров.
При этом количество жёлтых шаров уменьшилось на один и стало $17 - 1 = 16$, а количество зелёных шаров осталось прежним — 12.
Вероятность того, что второй шар окажется зелёным, при условии, что первый был жёлтым, равна отношению количества зелёных шаров к новому общему числу шаров в коробке:
$P(З2|Ж1) = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$.

Дендрограмма (дерево вероятностей) данного опыта выглядит следующим образом:

• Первый шар - Жёлтый (вероятность $P(Ж1) = \frac{17}{29}$)
  • Второй шар - Жёлтый (условная вероятность $P(Ж2|Ж1) = \frac{16}{28}$)
  • Второй шар - Зелёный (условная вероятность $P(З2|Ж1) = \frac{12}{28}$)
• Первый шар - Зелёный (вероятность $P(З1) = \frac{12}{29}$)
  • Второй шар - Жёлтый (условная вероятность $P(Ж2|З1) = \frac{17}{28}$)
  • Второй шар - Зелёный (условная вероятность $P(З2|З1) = \frac{11}{28}$)

Ответ: $\frac{3}{7}$.

3.

Введём обозначения для событий:
А — наугад выбранный слушатель изучает английский язык.
И — наугад выбранный слушатель изучает испанский язык.

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:
Вероятность, что слушатель изучает английский: $P(А) = 50\% = 0,5$.
Вероятность, что слушатель изучает испанский: $P(И) = 20\% = 0,2$.
Вероятность, что слушатель изучает испанский, при условии, что он изучает английский: $P(И|А) = 16\% = 0,16$.

Нам необходимо найти вероятность того, что слушатель, изучающий испанский язык, также изучает и английский. Это соответствует условной вероятности $P(А|И)$.
Для нахождения этой вероятности воспользуемся формулой условной вероятности: $P(А|И) = \frac{P(А \cap И)}{P(И)}$.

Сначала найдём вероятность $P(А \cap И)$ — вероятность того, что слушатель изучает оба языка. Её можно найти из другой условной вероятности, $P(И|А) = \frac{P(А \cap И)}{P(А)}$:
$P(А \cap И) = P(И|А) \cdot P(А)$.
Подставим известные значения: $P(А \cap И) = 0,16 \cdot 0,5 = 0,08$.

Теперь, имея все необходимые данные, мы можем вычислить искомую вероятность $P(А|И)$:
$P(А|И) = \frac{P(А \cap И)}{P(И)} = \frac{0,08}{0,2} = \frac{8}{20} = 0,4$.
Ответ: 0,4.