Номер 24, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Математическое ожидание суммы случайных величин

1. О случайных величинах $x$ и $y$ известно, что $M(x) = 3$, $M(y) = -2$. Найдите математическое ожидание случайной величины:

1) $y - x$;

2) $3x + y$;

3) $\frac{3y + x}{4}$.

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $90\%$. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из пяти выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

3. В каждом из трёх ящиков находится по 100 шаров. Количество синих шаров в этих ящиках равно соответственно 15, 27, 81. Из каждого ящика достают по одному шару. Найдите математическое ожидание количества вынутых синих шаров.

1. Для решения используются свойства математического ожидания: $M(X+Y) = M(X) + M(Y)$ и $M(aX) = aM(X)$, где $a$ – константа. Дано: $M(x) = 3$, $M(y) = -2$.

1) $y - x$
Используя свойство линейности математического ожидания, получаем:
$M(y - x) = M(y) - M(x) = -2 - 3 = -5$.
Ответ: -5.

2) $3x + y$
Используя свойства линейности и однородности, получаем:
$M(3x + y) = M(3x) + M(y) = 3M(x) + M(y) = 3 \cdot 3 + (-2) = 9 - 2 = 7$.
Ответ: 7.

3) $\frac{3y + x}{4}$
Используя те же свойства, получаем:
$M(\frac{3y + x}{4}) = M(\frac{3}{4}y + \frac{1}{4}x) = \frac{3}{4}M(y) + \frac{1}{4}M(x) = \frac{3}{4}(-2) + \frac{1}{4}(3) = -\frac{6}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
Ответ: -0,75.

2.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству попаданий в мишень в серии из 5 выстрелов. Эта ситуация описывается биномиальным распределением с параметрами: $n=5$ (число испытаний) и $p=0,9$ (вероятность успеха в одном испытании). Вероятность промаха $q = 1-p = 0,1$.

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение $k$ (ровно $k$ попаданий), вычисляется по формуле Бернулли: $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Рассчитаем вероятности для всех возможных значений $k$ от 0 до 5:

• $P(X=0) = C_5^0 (0,9)^0 (0,1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,00001 = 0,00001$.
• $P(X=1) = C_5^1 (0,9)^1 (0,1)^4 = 5 \cdot 0,9 \cdot 0,0001 = 0,00045$.
• $P(X=2) = C_5^2 (0,9)^2 (0,1)^3 = 10 \cdot 0,81 \cdot 0,001 = 0,0081$.
• $P(X=3) = C_5^3 (0,9)^3 (0,1)^2 = 10 \cdot 0,729 \cdot 0,01 = 0,0729$.
• $P(X=4) = C_5^4 (0,9)^4 (0,1)^1 = 5 \cdot 0,6561 \cdot 0,1 = 0,32805$.
• $P(X=5) = C_5^5 (0,9)^5 (0,1)^0 = 1 \cdot 0,59049 \cdot 1 = 0,59049$.

Составим таблицу распределения вероятностей:

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $M(X) = n \cdot p$.
$M(X) = 5 \cdot 0,9 = 4,5$.
Этот же результат можно получить, вычислив по определению: $M(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot 0,00001 + 1 \cdot 0,00045 + 2 \cdot 0,0081 + 3 \cdot 0,0729 + 4 \cdot 0,32805 + 5 \cdot 0,59049 = 4,5$.

Ответ: Таблица распределения представлена выше, математическое ожидание равно 4,5.

3.

Пусть $X$ – общее количество вынутых синих шаров. Эту случайную величину можно представить как сумму трёх случайных величин: $X = X_1 + X_2 + X_3$, где $X_i$ – индикаторная случайная величина, которая равна 1, если из $i$-го ящика вынут синий шар, и 0 в противном случае.

Согласно свойству линейности математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
$M(X) = M(X_1 + X_2 + X_3) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3)$.

Математическое ожидание индикаторной случайной величины равно вероятности события, которое она представляет. Рассчитаем эти вероятности:

• Для первого ящика (15 синих из 100): $P(X_1=1) = \frac{15}{100} = 0,15$.
  Следовательно, $M(X_1) = 0,15$.
• Для второго ящика (27 синих из 100): $P(X_2=1) = \frac{27}{100} = 0,27$.
  Следовательно, $M(X_2) = 0,27$.
• Для третьего ящика (81 синий из 100): $P(X_3=1) = \frac{81}{100} = 0,81$.
  Следовательно, $M(X_3) = 0,81$.

Теперь найдём искомое математическое ожидание, сложив полученные значения:
$M(X) = 0,15 + 0,27 + 0,81 = 1,23$.

Ответ: 1,23.