Номер 4, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Логарифм и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,2}\log_2 32$;

2) $\log_{12} 16 + \log_{12} 9$;

3) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2}$;

4) $\log_{\sqrt{3}} 243$;

5) $64^{1 - \log_4 6}$;

6) $7^{\frac{3}{\log_8 7}}$.

2. Решите уравнение:

1) $6^x = 11$;

2) $\log_{x - 2} 100 = 2$.

3. Найдите значение выражения $\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$.

4. Постройте график функции:

1) $y = 10^{\lg(x - 1)}$;

2) $y = \log_{x + 2} (x + 2)$.

5. Найдите $\log_6 3$, если $\log_6 16 = m$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,2}\log_{2}32$

Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_{2}32$. Так как $2^5 = 32$, то $\log_{2}32 = 5$.

Теперь выражение принимает вид: $\log_{0,2}5$.

Основание логарифма $0,2$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{5}$ или $5^{-1}$.

Получаем: $\log_{0,2}5 = \log_{5^{-1}}5$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_{a}b$:

$\log_{5^{-1}}5 = \frac{1}{-1}\log_{5}5 = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $-1$.

2) $\log_{12}16 + \log_{12}9$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$.

$\log_{12}16 + \log_{12}9 = \log_{12}(16 \cdot 9) = \log_{12}144$.

Так как $12^2 = 144$, то $\log_{12}144 = 2$.

Ответ: $2$.

3) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2}$

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В данном случае формула применяется в обратном порядке: $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$.

$\frac{\log_6 128}{\log_6 2} = \log_2 128$.

Так как $2^7 = 128$, то $\log_2 128 = 7$.

Ответ: $7$.

4) $\log_{\sqrt{3}}243$

Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3.

Основание: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Аргумент: $243 = 3^5$.

Выражение принимает вид: $\log_{3^{1/2}}3^5$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_{a}b$:

$\log_{3^{1/2}}3^5 = \frac{5}{1/2}\log_{3}3 = \frac{5}{1/2} \cdot 1 = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: $10$.

5) $64^{1 - \log_4 6}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$64^{1 - \log_4 6} = \frac{64^1}{64^{\log_4 6}}$.

Преобразуем знаменатель. Представим $64$ как степень числа $4$: $64 = 4^3$.

$64^{\log_4 6} = (4^3)^{\log_4 6} = 4^{3\log_4 6}$.

Используем свойство логарифма $k\log_a b = \log_a b^k$:

$4^{3\log_4 6} = 4^{\log_4 6^3}$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$4^{\log_4 6^3} = 6^3 = 216$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$\frac{64}{216}$. Сократим дробь. Оба числа делятся на 8: $64 \div 8 = 8$, $216 \div 8 = 27$.

Получаем $\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.

6) $7^{\frac{3}{\log_8 7}}$

Преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{3}{\log_8 7} = 3 \cdot \frac{1}{\log_8 7} = 3\log_7 8$.

Используем свойство логарифма $k\log_a b = \log_a b^k$:

$3\log_7 8 = \log_7 8^3 = \log_7 512$.

Теперь выражение принимает вид: $7^{\log_7 512}$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 512} = 512$.

Ответ: $512$.

2. Решите уравнение:

1) $6^x = 11$

По определению логарифма, если $a^x = b$, то $x = \log_a b$.

Применяя это определение к данному уравнению, получаем:

$x = \log_6 11$.

Ответ: $\log_6 11$.

2) $\log_{x-2}100 = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$x-2 > 0 \implies x > 2$

$x-2 \neq 1 \implies x \neq 3$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

По определению логарифма, $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

$(x-2)^2 = 100$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x-2 = 10$ или $x-2 = -10$.

Решим каждое уравнение:

1) $x-2 = 10 \implies x = 12$.

2) $x-2 = -10 \implies x = -8$.

Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x=12$ удовлетворяет условиям $x>2$ и $x \neq 3$.

Корень $x=-8$ не удовлетворяет условию $x>2$, поэтому является посторонним.

Ответ: $12$.

3. Найдите значение выражения:

$\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $3\lg 2 - \lg 0,5$.

Используем свойства логарифмов $k\log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$3\lg 2 - \lg 0,5 = \lg 2^3 - \lg 0,5 = \lg 8 - \lg 0,5 = \lg\left(\frac{8}{0,5}\right) = \lg 16$.

Знаменатель: $\lg 0,4 + \lg 1,25$.

Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\lg 0,4 + \lg 1,25 = \lg(0,4 \cdot 1,25) = \lg(0,5)$.

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{\lg 16}{\lg 0,5}$.

Представим $16$ как $2^4$ и $0,5$ как $2^{-1}$:

$\frac{\lg(2^4)}{\lg(2^{-1})} = \frac{4\lg 2}{-1\lg 2}$.

Сокращаем $\lg 2$:

$\frac{4}{-1} = -4$.

Ответ: $-4$.

4. Постройте график функции:

1) $y = 10^{\lg(x-1)}$

Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x-1 > 0 \implies x > 1$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае $\lg$ — это логарифм по основанию 10.

$y = 10^{\log_{10}(x-1)} = x-1$.

Таким образом, нужно построить график функции $y = x-1$ при условии $x > 1$.

Это часть прямой линии. Графиком является луч, начинающийся в точке $(1, 0)$, причем сама точка $(1, 0)$ не включена (на графике ее отмечают выколотой точкой).

Для построения найдем две точки:

При $x=2$, $y = 2-1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

При $x=3$, $y = 3-1 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x-1$ с выколотой начальной точкой $(1, 0)$.

2) $y = \log_{x+2}(x+2)$

Найдем область определения функции. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

$x+2 \neq 1 \implies x \neq -1$.

Область определения: $x \in (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Используем свойство логарифма $\log_a a = 1$.

Так как основание и аргумент логарифма равны, функция упрощается до $y=1$ на всей области ее определения.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$, у которой "выколоты" две части: точка, где $x=-1$, и все точки, где $x \le -2$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(-1, 1)$, определенная для $x > -2$.

5. Найдите $\log_6 3$, если $\log_6 16 = m$.

Дано: $\log_6 16 = m$.

Преобразуем данное выражение:

$\log_6 16 = \log_6(2^4) = 4\log_6 2$.

Таким образом, $4\log_6 2 = m$, откуда $\log_6 2 = \frac{m}{4}$.

Теперь выразим $\log_6 3$. Мы можем представить число 3 через основание 6 и число 2: $3 = \frac{6}{2}$.

$\log_6 3 = \log_6\left(\frac{6}{2}\right)$.

Используем свойство логарифма частного $\log_a(b/c) = \log_a b - \log_a c$:

$\log_6\left(\frac{6}{2}\right) = \log_6 6 - \log_6 2$.

Мы знаем, что $\log_6 6 = 1$ и ранее мы нашли, что $\log_6 2 = \frac{m}{4}$.

Подставляем эти значения:

$\log_6 3 = 1 - \frac{m}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{m}{4}$.