Номер 2, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7};$

2) $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$

3) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0;$

4) $3^{-\cos 2x} + 3^{\sin^2 x} - 6 = 0;$

5) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0;$

6) $3^x = 30 - x.$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $49^x - (a + 5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$ имеет один действительный корень?

1) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(\frac{5}{3})^{x-4} = ((\frac{5}{3})^{-2})^{x-7}$
$(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{5}{3})^{-2(x-7)}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x-4 = -2(x-7)$
$x-4 = -2x + 14$
$x + 2x = 14 + 4$
$3x = 18$
$x = 6$
Ответ: $6$.

2) $6x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$
Предположим, что в условии задачи опечатка, и первый член должен быть $6^x$. Тогда уравнение принимает вид: $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$.
Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:
$6^x - 5 \cdot \frac{6^x}{6^2} = 186$
$6^x - 5 \cdot \frac{6^x}{36} = 186$
Вынесем $6^x$ за скобку:
$6^x(1 - \frac{5}{36}) = 186$
$6^x(\frac{36 - 5}{36}) = 186$
$6^x \cdot \frac{31}{36} = 186$
$6^x = \frac{186 \cdot 36}{31}$
Поскольку $186 : 31 = 6$, получаем:
$6^x = 6 \cdot 36$
$6^x = 6 \cdot 6^2$
$6^x = 6^3$
$x = 3$
Ответ: $3$.

3) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $11^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 11^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 12t + 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $12$, а их произведение равно $11$. Легко подобрать корни:
$t_1 = 1$, $t_2 = 11$.
Оба корня удовлетворяют условию $t>0$. Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $11^x = t_1 = 1 \implies 11^x = 11^0 \implies x = 0$.
2) $11^x = t_2 = 11 \implies 11^x = 11^1 \implies x = 1$.
Ответ: $0; 1$.

4) $3 - \cos(2x) + 3\sin^2(x) - 6 = 0$
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.
$3 - (1 - 2\sin^2(x)) + 3\sin^2(x) - 6 = 0$
$3 - 1 + 2\sin^2(x) + 3\sin^2(x) - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5\sin^2(x) - 4 = 0$
$5\sin^2(x) = 4$
$\sin^2(x) = \frac{4}{5}$
Теперь используем формулу понижения степени: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{4}{5}$
$1 - \cos(2x) = \frac{8}{5}$
$\cos(2x) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$
Решением этого уравнения являются:
$2x = \pm\arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm\frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pm\frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0$
Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $81^x$ (это возможно, так как $81^x > 0$ при любом $x$).
$3 \cdot \frac{16^x}{81^x} + \frac{36^x}{81^x} - 2 \cdot \frac{81^x}{81^x} = 0$
$3 \cdot (\frac{16}{81})^x + (\frac{36}{81})^x - 2 = 0$
Упростим основания степеней: $\frac{16}{81} = (\frac{4}{9})^2$ и $\frac{36}{81} = \frac{4}{9}$.
$3 \cdot ((\frac{4}{9})^2)^x + (\frac{4}{9})^x - 2 = 0$
$3 \cdot (\frac{4}{9})^{2x} + (\frac{4}{9})^x - 2 = 0$
Сделаем замену $t = (\frac{4}{9})^x$, где $t > 0$.
$3t^2 + t - 2 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6}$
$t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$. Остается $t_1 = \frac{2}{3}$.
Вернемся к замене:
$(\frac{4}{9})^x = \frac{2}{3}$
$((\frac{2}{3})^2)^x = (\frac{2}{3})^1$
$(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^1$
Приравниваем показатели:
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $0.5$.

6) $3^x = 30 - x$
Это трансцендентное уравнение, которое решается графически или методом подбора. Рассмотрим две функции: $y_1 = 3^x$ и $y_2 = 30 - x$.
Функция $y_1 = 3^x$ является строго возрастающей.
Функция $y_2 = 30 - x$ (линейная) является строго убывающей.
Графики таких функций могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором, проверяя целые значения $x$.
При $x=1$: $3^1=3$, а $30-1=29$. Неверно.
При $x=2$: $3^2=9$, а $30-2=28$. Неверно.
При $x=3$: $3^3=27$, а $30-3=27$. Верно.
Таким образом, $x=3$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $3$.

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $49^x - (a+5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$ имеет один действительный корень?
Перепишем уравнение, заметив, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$:
$(7^x)^2 - (a+5) \cdot 7^x + (7a - 14) = 0$
Сделаем замену переменной $t = 7^x$. Поскольку $7^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Исходное уравнение имеет один действительный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение для $t$ имеет ровно один положительный корень.
$t^2 - (a+5)t + (7a - 14) = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно заметить, что $t=7$ является корнем при любом $a$:
$7^2 - (a+5)\cdot7 + 7a - 14 = 49 - 7a - 35 + 7a - 14 = (49-35-14) + (-7a+7a) = 0$.
Итак, один корень $t_1 = 7$.
Второй корень $t_2$ найдем по теореме Виета. Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 7a - 14$.
$7 \cdot t_2 = 7a - 14$
$t_2 = a - 2$
Корни квадратного уравнения: $t_1 = 7$ и $t_2 = a - 2$.
Нам нужно, чтобы был ровно один положительный корень $t$.
Корень $t_1=7$ всегда положителен. Это означает, что для выполнения условия задачи второй корень $t_2$ должен быть либо равен первому (чтобы был один корень кратности 2), либо быть неположительным ($t_2 \le 0$).
Рассмотрим эти два случая:
1) Корни совпадают: $t_1 = t_2$.
$7 = a - 2 \implies a = 9$.
При $a=9$ уравнение имеет один корень $t=7$, который положителен. Это дает одно решение для $x$. Значит, $a=9$ подходит.
2) Второй корень неположительный: $t_2 \le 0$.
$a - 2 \le 0 \implies a \le 2$.
Если $a \le 2$, то корень $t_2$ неположителен, и из него нельзя найти действительное $x$ (так как $7^x > 0$). Единственный положительный корень $t_1=7$ даст единственное решение $x=1$. Значит, все $a \le 2$ подходят.
Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a \in (-\infty, 2] \cup \{9\}$.
Ответ: $a \in (-\infty, 2] \cup \{9\}$.