Номер 23, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Характеристики случайной величины

1. В коробке лежат 5 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

2. Случайная величина $x$ имеет следующее распределение вероятностей.

Значение $x$: 1, 2, 4

Вероятность, %: 30, 25, 45

Найдите:

1) математическое ожидание;

2) дисперсию;

3) стандартное отклонение;

4) среднее абсолютное отклонение.

1.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству вынутых красных шаров. Всего в коробке находится $5$ красных и $6$ синих шаров, то есть $5 + 6 = 11$ шаров. Из коробки случайным образом вынимают $4$ шара.

Математическое ожидание случайной величины можно найти, составив её закон распределения. Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, 4$.

Общее число способов выбрать $4$ шара из $11$ равно числу сочетаний $C_{11}^4$.

$C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330$.

Теперь найдем вероятности для каждого возможного значения $X$. Вероятность $P(X=k)$ находится по формуле гипергеометрического распределения: $P(X=k) = \frac{C_5^k \cdot C_6^{4-k}}{C_{11}^4}$.

• Вероятность вынуть 0 красных шаров (и 4 синих):
  $P(X=0) = \frac{C_5^0 \cdot C_6^4}{C_{11}^4} = \frac{1 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}}{330} = \frac{15}{330}$.
• Вероятность вынуть 1 красный шар (и 3 синих):
  $P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_6^3}{C_{11}^4} = \frac{5 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{330} = \frac{5 \cdot 20}{330} = \frac{100}{330}$.
• Вероятность вынуть 2 красных шара (и 2 синих):
  $P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_6^2}{C_{11}^4} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}}{330} = \frac{10 \cdot 15}{330} = \frac{150}{330}$.
• Вероятность вынуть 3 красных шара (и 1 синий):
  $P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_6^1}{C_{11}^4} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 6}{330} = \frac{10 \cdot 6}{330} = \frac{60}{330}$.
• Вероятность вынуть 4 красных шара (и 0 синих):
  $P(X=4) = \frac{C_5^4 \cdot C_6^0}{C_{11}^4} = \frac{5 \cdot 1}{330} = \frac{5}{330}$.

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i p_i$:

$M(X) = 0 \cdot \frac{15}{330} + 1 \cdot \frac{100}{330} + 2 \cdot \frac{150}{330} + 3 \cdot \frac{60}{330} + 4 \cdot \frac{5}{330}$

$M(X) = \frac{0 + 100 + 300 + 180 + 20}{330} = \frac{600}{330} = \frac{60}{33} = \frac{20}{11}$.

Также можно использовать формулу математического ожидания для гипергеометрического распределения: $M(X) = n \cdot \frac{K}{N}$, где $n=4$ — размер выборки, $K=5$ — количество "успехов" в совокупности (красные шары), $N=11$ — размер совокупности.

$M(X) = 4 \cdot \frac{5}{11} = \frac{20}{11}$.

Ответ: $\frac{20}{11}$.

2.

Дано распределение вероятностей случайной величины $x$. Вероятности, указанные в процентах, переведем в доли:

1) математическое ожидание

Математическое ожидание $M(x)$ находится по формуле $M(x) = \sum_{i} x_i p_i$.

$M(x) = 1 \cdot 0.30 + 2 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.45 = 0.30 + 0.50 + 1.80 = 2.6$.

Ответ: $2.6$.

2) дисперсию

Дисперсия $D(x)$ вычисляется по формуле $D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2$. Сначала найдем $M(x^2)$:

$M(x^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0.30 + 2^2 \cdot 0.25 + 4^2 \cdot 0.45 = 1 \cdot 0.30 + 4 \cdot 0.25 + 16 \cdot 0.45 = 0.30 + 1.00 + 7.20 = 8.5$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2 = 8.5 - (2.6)^2 = 8.5 - 6.76 = 1.74$.

Ответ: $1.74$.

3) стандартное отклонение

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение $\sigma(x)$ равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(x) = \sqrt{D(x)} = \sqrt{1.74} \approx 1.319$.

Ответ: $\approx 1.319$.

4) среднее абсолютное отклонение

Среднее абсолютное отклонение $MAD(x)$ вычисляется по формуле $MAD(x) = \sum_{i} |x_i - M(x)| p_i$.

$MAD(x) = |1 - 2.6| \cdot 0.30 + |2 - 2.6| \cdot 0.25 + |4 - 2.6| \cdot 0.45$

$MAD(x) = 1.6 \cdot 0.30 + 0.6 \cdot 0.25 + 1.4 \cdot 0.45 = 0.48 + 0.15 + 0.63 = 1.26$.

Ответ: $1.26$.