Номер 17, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Элементы комбинаторики
и бином Ньютона

1. Сколько существует шестизначных чисел, кратных 5, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8 используется по одному разу?

2. В воинском подразделении служат 5 сержантов и 8 рядовых солдат. Сколько существует способов расставить по одному часовому на семи этажах здания, если на первом и последнем этажах должны дежурить сержанты?

3. Из 15 человек формируют три группы по 5 человек для поездки в Лондон, Париж и Мадрид. Сколько существует способов это сделать?

4. Найдите сумму чисел, стоящих на нечётных местах в 27-й строке треугольника Паскаля.

1. Шестизначное число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Из предложенных цифр {1, 2, 3, 5, 7, 8} для последней позиции подходит только цифра 5. Таким образом, последняя цифра искомых чисел однозначно определена — это 5.

Оставшиеся 5 цифр {1, 2, 3, 7, 8} нужно разместить на первых пяти позициях шестизначного числа. Так как все цифры должны использоваться по одному разу, количество способов их размещения равно числу перестановок из 5 элементов:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Следовательно, существует 120 таких чисел.

Ответ: 120.

2. Требуется расставить 7 часовых на 7 этажах с особым условием для первого и последнего этажей. Решим задачу по шагам:

1. Выбор и расстановка сержантов на 1-м и 7-м этажах.

Необходимо выбрать 2 сержантов из 5 и назначить их на две конкретные должности (часовой на 1-м этаже и часовой на 7-м этаже). Поскольку порядок назначения важен (сержант А на 1-м и Б на 7-м — это не то же самое, что Б на 1-м и А на 7-м), мы используем формулу для нахождения числа размещений:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$ способов.

2. Расстановка часовых на остальных этажах.

Осталось 5 этажей (со 2-го по 6-й) и $5-2=3$ сержанта и 8 рядовых, что в сумме составляет $3+8=11$ человек. На 5 оставшихся этажей нужно назначить 5 человек из 11. Порядок их расстановки также важен, поэтому снова используем размещения:

$A_{11}^5 = \frac{11!}{(11-5)!} = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 55440$ способов.

3. Общее количество способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:

$N = A_5^2 \times A_{11}^5 = 20 \times 55440 = 1108800$.

Ответ: 1108800.

3. Задача заключается в том, чтобы разбить 15 человек на три упорядоченные (именованные: Лондон, Париж, Мадрид) группы по 5 человек.

1. Формирование группы для поездки в Лондон.

Нужно выбрать 5 человек из 15. Порядок выбора людей внутри группы не важен, поэтому используем сочетания:

$C_{15}^5 = \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ способа.

2. Формирование группы для поездки в Париж.

После выбора первой группы осталось $15 - 5 = 10$ человек. Из них нужно выбрать 5 для поездки в Париж:

$C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ способа.

3. Формирование группы для поездки в Мадрид.

Осталось $10 - 5 = 5$ человек, которые и составят третью группу. Существует только один способ сформировать эту группу:

$C_5^5 = \binom{5}{5} = 1$ способ.

4. Общее количество способов.

По правилу произведения, общее число способов равно произведению числа способов на каждом этапе:

$N = C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 3003 \times 252 \times 1 = 756756$.

Ответ: 756756.

4. Элементами $n$-й строки треугольника Паскаля (при нумерации строк с $n=0$) являются биномиальные коэффициенты $\binom{n}{k}$ при $k = 0, 1, \dots, n$. Для 27-й строки ($n=27$) это числа $\binom{27}{0}, \binom{27}{1}, \binom{27}{2}, \dots, \binom{27}{27}$.

Нечётные места в строке — это 1-е, 3-е, 5-е и так далее. Этим местам соответствуют биномиальные коэффициенты с чётными нижними индексами: $k=0, 2, 4, \dots$. Требуется найти сумму:

$S = \binom{27}{0} + \binom{27}{2} + \binom{27}{4} + \dots + \binom{27}{26}$

Для нахождения этой суммы воспользуемся двумя известными свойствами биномиальных коэффициентов, которые следуют из формулы бинома Ньютона:

1. Сумма всех коэффициентов строки $n$: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
Для $n=27$: $\binom{27}{0} + \binom{27}{1} + \binom{27}{2} + \dots + \binom{27}{27} = 2^{27}$.

2. Чередующаяся сумма коэффициентов строки $n$: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k} = 0$.
Для $n=27$: $\binom{27}{0} - \binom{27}{1} + \binom{27}{2} - \dots - \binom{27}{27} = 0$.

Первое равенство можно записать как $S_{even} + S_{odd} = 2^{27}$, а второе как $S_{even} - S_{odd} = 0$, где $S_{even}$ — искомая сумма, а $S_{odd}$ — сумма коэффициентов на чётных местах (с нечётными $k$).

Из второго уравнения получаем $S_{even} = S_{odd}$. Подставив это в первое уравнение, имеем:

$S_{even} + S_{even} = 2^{27}$

$2S_{even} = 2^{27}$

$S_{even} = \frac{2^{27}}{2} = 2^{26}$

Вычислим значение: $2^{26} = (2^{10})^2 \times 2^6 = 1024^2 \times 64 = 1048576 \times 64 = 67108864$.

Ответ: $2^{26}$ (или 67108864).