Номер 5, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $ \log_{0,8} 8 $ и $ \log_{0,9} 7 $;

2) $ \log_5 600 $ и $ 4 $;

3) $ \log_{35} 36 $ и $ \log_{36} 35 $;

4) $ \log_{0,8} 0,7 $ и $ \log_{0,7} 0,8 $.

2. Найдите область определения функции:

1) $ y = \log_{0,4} (3x - 14) $;

2) $ y = \log_{x + 9} (14 - x) $;

3) $ y = \log_{0,1} (18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1} (x + 2)} $.

3. Постройте график функции:

1) $ y = \log_4 (x - 3) $;

2) $ y = \log_{0,5} (-x) + 2 $;

3) $ y = |\log_4 x| $.

4. Найдите наибольшее значение функции

$ y = \log_{\frac{1}{7}} (x^2 + 2x + 9) $.

1.

1) Функция $y = \log_{0,9}x$ является убывающей, так как её основание $a = 0,9$ и $0 < a < 1$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $8 > 7$, то $\log_{0,9}8 < \log_{0,9}7$.
Ответ: $\log_{0,9}8 < \log_{0,9}7$.

2) Представим число $4$ в виде логарифма с основанием $5$: $4 = \log_5(5^4) = \log_5(625)$. Теперь сравним $\log_5600$ и $\log_5625$. Функция $y = \log_5x$ является возрастающей, так как её основание $a = 5 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $600 < 625$, то $\log_5600 < \log_5625$.
Ответ: $\log_5600 < 4$.

3) Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{35}36$: основание $35 > 1$ и аргумент $36 > 35$, следовательно, $\log_{35}36 > \log_{35}35 = 1$.
Для $\log_{36}35$: основание $36 > 1$ и аргумент $35 < 36$, следовательно, $\log_{36}35 < \log_{36}36 = 1$.
Так как $\log_{35}36 > 1$ и $\log_{36}35 < 1$, то $\log_{35}36 > \log_{36}35$.
Ответ: $\log_{35}36 > \log_{36}35$.

4) Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{0,8}0,7$: основание $0,8 < 1$ и аргумент $0,7 < 0,8$. Так как функция убывающая, то $\log_{0,8}0,7 > \log_{0,8}0,8 = 1$.
Для $\log_{0,7}0,8$: основание $0,7 < 1$ и аргумент $0,8 > 0,7$. Так как функция убывающая, то $\log_{0,7}0,8 < \log_{0,7}0,7 = 1$.
Так как $\log_{0,8}0,7 > 1$ и $\log_{0,7}0,8 < 1$, то $\log_{0,8}0,7 > \log_{0,7}0,8$.
Ответ: $\log_{0,8}0,7 > \log_{0,7}0,8$.

2.

1) $y = \log_{0,4}(3x - 14)$. Область определения логарифмической функции определяется условием, что её аргумент должен быть строго положителен.
$3x - 14 > 0$
$3x > 14$
$x > \frac{14}{3}$
Ответ: $(\frac{14}{3}; +\infty)$.

2) $y = \log_{x+9}(14 - x)$. Для нахождения области определения должны выполняться три условия:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $14 - x > 0 \Rightarrow x < 14$.
2. Основание логарифма должно быть положительно: $x + 9 > 0 \Rightarrow x > -9$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $x + 9 \neq 1 \Rightarrow x \neq -8$.
Объединяя все условия, получаем: $x \in (-9; 14)$ и $x \neq -8$.
Ответ: $(-9; -8) \cup (-8; 14)$.

3) $y = \log_{0,1}(18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1}(x + 2)}$. Область определения находится из системы условий:
1. Аргумент первого логарифма положителен: $18 + 3x - x^2 > 0$. Умножим на -1: $x^2 - 3x - 18 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ равны $x_1 = -3, x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-3; 6)$.
2. Аргумент второго логарифма положителен: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{0,1}(x + 2) \neq 0$. Это означает, что $x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1$.
Пересечение всех условий: $x \in (-3; 6) \cap (-2; +\infty) \cap \{x \neq -1\}$. Это дает интервал $(-2; 6)$ с исключенной точкой $x = -1$.
Ответ: $(-2; -1) \cup (-1; 6)$.

3.

1) $y = \log_4(x - 3)$. График этой функции можно построить, сдвинув график функции $y = \log_4(x)$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.
- Вертикальная асимптота: $x = 3$.
- Область определения: $x > 3$.
- График проходит через точки, например, $(4, 0)$ и $(7, 1)$.
- Функция возрастающая.
Ответ: График функции $y = \log_4(x)$ сдвинут на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=3$.

2) $y = \log_{0,5}(-x) + 2$. График этой функции можно построить из графика $y = \log_{0,5}(x)$ в три шага:
1. Строим график $y = \log_{0,5}(x)$ (убывающая функция).
2. Отображаем его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y = \log_{0,5}(-x)$.
3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $x < 0$.
- График проходит через точки, например, $(-1, 2)$ и $(-4, 0)$.
Ответ: График функции $y = \log_{0,5}(x)$ отражен относительно оси OY и сдвинут на 2 единицы вверх.

3) $y = |\log_4x|$. График этой функции строится на основе графика $y = \log_4(x)$.
1. Строим график $y = \log_4(x)$ (возрастающая функция, проходит через $(1,0)$).
2. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$, то есть при $0 < x < 1$), симметрично отображаем относительно оси Ox.
3. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$, то есть при $x \ge 1$), оставляем без изменений.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $x > 0$.
- Область значений: $y \ge 0$.
Ответ: Часть графика $y = \log_4x$ на интервале $(0,1)$ отражена симметрично относительно оси OX.

4.

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{7}}(x^2 + 2x + 9)$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что своего наибольшего значения функция достигнет тогда, когда её аргумент примет наименьшее значение.
Найдем наименьшее значение выражения $t(x) = x^2 + 2x + 9$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.
Координата вершины по оси x: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 9 = 1 - 2 + 9 = 8$.
Теперь найдем наибольшее значение функции $y$:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{7}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{7}}(8)$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{7}}8$.