Номер 6, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $ \log_4 \log_2 \log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2} $

2) $ \log_{\frac{1}{3}} (2x^2 + 4x - 7) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) $

3) $ \log_6(x - 3) = 1 - \log_6(x + 2) $

4) $ \log_5 x + \log_x 25 = 3 $

5) $ x^{\log_3 x - 4} = \frac{1}{27} $

6) $ x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98 $

1) $ \log_{4} \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. $ x > 0 $
2. $ \log_{\sqrt{5}} x > 0 \implies x > (\sqrt{5})^0 \implies x > 1 $
3. $ \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x > 0 \implies \log_{\sqrt{5}} x > 2^0 \implies \log_{\sqrt{5}} x > 1 \implies x > (\sqrt{5})^1 \implies x > \sqrt{5} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \sqrt{5} $.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов по определению $ \log_a b = c \iff a^c = b $:
$ \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x = 4^{\frac{1}{2}} $
$ \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x = \sqrt{4} = 2 $
Теперь применим определение логарифма еще раз:
$ \log_{\sqrt{5}} x = 2^2 $
$ \log_{\sqrt{5}} x = 4 $
И в последний раз:
$ x = (\sqrt{5})^4 = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25 $
Проверяем корень по ОДЗ: $ 25 > \sqrt{5} $. Условие выполняется.
Ответ: 25.

2) $ \log_{\frac{1}{3}} (2x^2 + 4x - 7) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) $

ОДЗ определяется системой неравенств:
$ \begin{cases} 2x^2 + 4x - 7 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства: $ x > -2 $.
Решим первое: $ 2x^2 + 4x - 7 > 0 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 + 4x - 7 = 0 $.
$ D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 16 + 56 = 72 $.
$ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{-4 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm 3\sqrt{2}}{2} $.
Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; \frac{-2 - 3\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{-2 + 3\sqrt{2}}{2}; +\infty) $.
Учитывая условие $ x > -2 $, получаем ОДЗ: $ x > \frac{-2 + 3\sqrt{2}}{2} $.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ 2x^2 + 4x - 7 = x + 2 $
$ 2x^2 + 3x - 9 = 0 $
$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 $
$ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 - 9}{4} = -3 $
$ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 $
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($ x > \frac{-2 + 3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{-2 + 3 \cdot 1.41}{2} \approx 1.115 $).
$ x_1 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = 1.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 1.5 > 1.115 $.
Ответ: 1.5.

3) $ \log_{6}(x - 3) = 1 - \log_{6}(x + 2) $

ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -2 \end{cases} \implies x > 3 $.

Перенесем логарифм в левую часть:
$ \log_{6}(x - 3) + \log_{6}(x + 2) = 1 $
Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_{6}((x - 3)(x + 2)) = 1 $
По определению логарифма:
$ (x - 3)(x + 2) = 6^1 $
$ x^2 + 2x - 3x - 6 = 6 $
$ x^2 - x - 12 = 0 $
По теореме Виета: $ x_1 = 4 $, $ x_2 = -3 $.
Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 3 $):
$ x_1 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 4.

4) $ \log_{5} x + \log_{x} 25 = 3 $

ОДЗ: $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

Используем формулу перехода к новому основанию: $ \log_x 25 = \frac{\log_5 25}{\log_5 x} = \frac{2}{\log_5 x} $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} = 3 $
Введем замену $ t = \log_5 x $, при этом $ t \neq 0 $, так как $ x \neq 1 $.
$ t + \frac{2}{t} = 3 $
Умножим обе части на $ t $:
$ t^2 + 2 = 3t $
$ t^2 - 3t + 2 = 0 $
По теореме Виета: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 2 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5 $
2. $ \log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 5; 25.

5) $ x^{\log_{3} x - 4} = \frac{1}{27} $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$ \log_3(x^{\log_{3} x - 4}) = \log_3(\frac{1}{27}) $
Используем свойство $ \log_a(b^c) = c \log_a b $:
$ (\log_3 x - 4) \log_3 x = \log_3(3^{-3}) $
$ (\log_3 x - 4) \log_3 x = -3 $
Введем замену $ t = \log_3 x $:
$ (t - 4)t = -3 $
$ t^2 - 4t + 3 = 0 $
По теореме Виета: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3 $
2. $ \log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 3; 27.

6) $ x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98 $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в виде $ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} $.
Применим его к первому слагаемому: $ x^{\log_{11} 7} = 7^{\log_{11} x} $.
Уравнение принимает вид:
$ 7^{\log_{11} x} + 7^{\log_{11} x} = 98 $
$ 2 \cdot 7^{\log_{11} x} = 98 $
$ 7^{\log_{11} x} = \frac{98}{2} $
$ 7^{\log_{11} x} = 49 $
$ 7^{\log_{11} x} = 7^2 $
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$ \log_{11} x = 2 $
По определению логарифма:
$ x = 11^2 = 121 $
Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 121.