Страница 18 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $ \log_4 \log_2 \log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2} $

2) $ \log_{\frac{1}{3}} (2x^2 + 4x - 7) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) $

3) $ \log_6(x - 3) = 1 - \log_6(x + 2) $

4) $ \log_5 x + \log_x 25 = 3 $

5) $ x^{\log_3 x - 4} = \frac{1}{27} $

6) $ x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98 $

1) $ \log_{4} \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. $ x > 0 $
2. $ \log_{\sqrt{5}} x > 0 \implies x > (\sqrt{5})^0 \implies x > 1 $
3. $ \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x > 0 \implies \log_{\sqrt{5}} x > 2^0 \implies \log_{\sqrt{5}} x > 1 \implies x > (\sqrt{5})^1 \implies x > \sqrt{5} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \sqrt{5} $.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов по определению $ \log_a b = c \iff a^c = b $:
$ \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x = 4^{\frac{1}{2}} $
$ \log_{2} \log_{\sqrt{5}} x = \sqrt{4} = 2 $
Теперь применим определение логарифма еще раз:
$ \log_{\sqrt{5}} x = 2^2 $
$ \log_{\sqrt{5}} x = 4 $
И в последний раз:
$ x = (\sqrt{5})^4 = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25 $
Проверяем корень по ОДЗ: $ 25 > \sqrt{5} $. Условие выполняется.
Ответ: 25.

2) $ \log_{\frac{1}{3}} (2x^2 + 4x - 7) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) $

ОДЗ определяется системой неравенств:
$ \begin{cases} 2x^2 + 4x - 7 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства: $ x > -2 $.
Решим первое: $ 2x^2 + 4x - 7 > 0 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 + 4x - 7 = 0 $.
$ D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 16 + 56 = 72 $.
$ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{-4 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm 3\sqrt{2}}{2} $.
Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; \frac{-2 - 3\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{-2 + 3\sqrt{2}}{2}; +\infty) $.
Учитывая условие $ x > -2 $, получаем ОДЗ: $ x > \frac{-2 + 3\sqrt{2}}{2} $.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ 2x^2 + 4x - 7 = x + 2 $
$ 2x^2 + 3x - 9 = 0 $
$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 $
$ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 - 9}{4} = -3 $
$ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 $
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($ x > \frac{-2 + 3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{-2 + 3 \cdot 1.41}{2} \approx 1.115 $).
$ x_1 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = 1.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 1.5 > 1.115 $.
Ответ: 1.5.

3) $ \log_{6}(x - 3) = 1 - \log_{6}(x + 2) $

ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -2 \end{cases} \implies x > 3 $.

Перенесем логарифм в левую часть:
$ \log_{6}(x - 3) + \log_{6}(x + 2) = 1 $
Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_{6}((x - 3)(x + 2)) = 1 $
По определению логарифма:
$ (x - 3)(x + 2) = 6^1 $
$ x^2 + 2x - 3x - 6 = 6 $
$ x^2 - x - 12 = 0 $
По теореме Виета: $ x_1 = 4 $, $ x_2 = -3 $.
Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 3 $):
$ x_1 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 4.

4) $ \log_{5} x + \log_{x} 25 = 3 $

ОДЗ: $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

Используем формулу перехода к новому основанию: $ \log_x 25 = \frac{\log_5 25}{\log_5 x} = \frac{2}{\log_5 x} $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} = 3 $
Введем замену $ t = \log_5 x $, при этом $ t \neq 0 $, так как $ x \neq 1 $.
$ t + \frac{2}{t} = 3 $
Умножим обе части на $ t $:
$ t^2 + 2 = 3t $
$ t^2 - 3t + 2 = 0 $
По теореме Виета: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 2 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5 $
2. $ \log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 5; 25.

5) $ x^{\log_{3} x - 4} = \frac{1}{27} $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$ \log_3(x^{\log_{3} x - 4}) = \log_3(\frac{1}{27}) $
Используем свойство $ \log_a(b^c) = c \log_a b $:
$ (\log_3 x - 4) \log_3 x = \log_3(3^{-3}) $
$ (\log_3 x - 4) \log_3 x = -3 $
Введем замену $ t = \log_3 x $:
$ (t - 4)t = -3 $
$ t^2 - 4t + 3 = 0 $
По теореме Виета: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3 $
2. $ \log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 3; 27.

6) $ x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98 $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в виде $ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} $.
Применим его к первому слагаемому: $ x^{\log_{11} 7} = 7^{\log_{11} x} $.
Уравнение принимает вид:
$ 7^{\log_{11} x} + 7^{\log_{11} x} = 98 $
$ 2 \cdot 7^{\log_{11} x} = 98 $
$ 7^{\log_{11} x} = \frac{98}{2} $
$ 7^{\log_{11} x} = 49 $
$ 7^{\log_{11} x} = 7^2 $
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$ \log_{11} x = 2 $
По определению логарифма:
$ x = 11^2 = 121 $
Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 121.

Самостоятельная работа № 7

Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

1) $ \log_5(5x - 1) > \log_5(2 - 3x); $

2) $ \log_2(2x - 4) < \log_2(x^2 - 3x + 2); $

3) $ \log_{0,8} x + \log_{0,8}(x + 1) \le \log_{0,8}(8 - x); $

4) $ \log^2_{0,1}(-x) + 0,5\log_{0,1} x^2 \le 2; $

5) $ \log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1. $

1) $\log_5(5x - 1) > \log_5(2 - 3x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 5x - 1 > 0 \\ 2 - 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x > 1 \\ 3x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{5} \\ x < \frac{2}{3} \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{2}{3})$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$5x - 1 > 2 - 3x$
$5x + 3x > 2 + 1$
$8x > 3$
$x > \frac{3}{8}$
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x > \frac{3}{8} \\ \frac{1}{5} < x < \frac{2}{3} \end{cases}$.
Поскольку $\frac{1}{5} = 0.2$, а $\frac{3}{8} = 0.375$, то $\frac{1}{5} < \frac{3}{8}$. Пересечением является интервал $(\frac{3}{8}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{3}{8}, \frac{2}{3})$

2) $\log_2(2x - 4) < \log_2(x^2 - 3x + 2)$

1. Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства: $2x > 4 \Rightarrow x > 2$.
Для второго неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=2$. Неравенство $(x-1)(x-2) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
Пересекая условия $x > 2$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$, получаем ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.
2. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$2x - 4 < x^2 - 3x + 2$
$0 < x^2 - 5x + 6$
Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $x_1=2, x_2=3$. Неравенство $(x-2)(x-3) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
3. Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (2, \infty)$:
$(-\infty, 2) \cup (3, \infty) \cap (2, \infty) \Rightarrow x \in (3, \infty)$.

Ответ: $(3, \infty)$

3) $\log_{0,8} x + \log_{0,8}(x + 1) \le \log_{0,8}(8 - x)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x < 8 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (0, 8)$.
2. Используя свойство суммы логарифмов, преобразуем левую часть:
$\log_{0,8}(x(x+1)) \le \log_{0,8}(8 - x)$
3. Основание логарифма $0.8$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x(x+1) \ge 8 - x$
$x^2 + x \ge 8 - x$
$x^2 + 2x - 8 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ равны $x_1=-4, x_2=2$. Неравенство $(x+4)(x-2) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
4. Найдем пересечение с ОДЗ $x \in (0, 8)$:
$(-\infty, -4] \cup [2, \infty) \cap (0, 8) \Rightarrow x \in [2, 8)$.

Ответ: $[2, 8)$

4) $\log_{0,1}^2(-x) + 0,5\log_{0,1} x^2 \le 2$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -x > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0)$.
2. Упростим второе слагаемое: $0,5\log_{0,1} x^2 = \log_{0,1} (x^2)^{0,5} = \log_{0,1} |x|$. Так как по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Неравенство принимает вид: $\log_{0,1}^2(-x) + \log_{0,1}(-x) \le 2$.
3. Сделаем замену $t = \log_{0,1}(-x)$. Получаем квадратное неравенство:
$t^2 + t - 2 \le 0$
Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1=-2, t_2=1$. Решение неравенства: $-2 \le t \le 1$.
4. Выполним обратную замену:
$-2 \le \log_{0,1}(-x) \le 1$
Так как основание $0.1 < 1$, при потенцировании знаки неравенства меняются:
$(0,1)^1 \ge -x \ge (0,1)^{-2}$
$0,1 \ge -x \ge 100$
Умножим все части на -1, снова изменив знаки неравенства:
$-0,1 \le x \le -100$
Это равносильно $-100 \le x \le -0,1$.
5. Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $[-100, -0,1]$

5) $\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 2x > 0 \\ 2x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-2)(x-3) > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1/2 \end{cases}$
Из первого неравенства $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, 2) \cup (3, \infty)$.
2. Представим $1$ как $\log_{2x}(2x)$. Неравенство примет вид:
$\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < \log_{2x}(2x)$
Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.
Случай 1: Основание $0 < 2x < 1$, то есть $0 < x < 1/2$. В этом случае знак неравенства меняется.
$x^2 - 5x + 6 > 2x \Rightarrow x^2 - 7x + 6 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-6) > 0$.
Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty)$.
Пересечение с условием $0 < x < 1/2$ дает $x \in (0, 1/2)$.
Случай 2: Основание $2x > 1$, то есть $x > 1/2$. В этом случае знак неравенства сохраняется.
$x^2 - 5x + 6 < 2x \Rightarrow x^2 - 7x + 6 < 0 \Rightarrow (x-1)(x-6) < 0$.
Решение: $x \in (1, 6)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ для данного случая, то есть с $x \in (1/2, 2) \cup (3, \infty)$.
Пересечение $(1, 6)$ и $(1/2, 2) \cup (3, \infty)$ дает $x \in (1, 2) \cup (3, 6)$.
3. Объединим решения из обоих случаев: $x \in (0, 1/2) \cup (1, 2) \cup (3, 6)$.

Ответ: $(0, 1/2) \cup (1, 2) \cup (3, 6)$