Страница 16 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция

1. Найдите значение выражения:

1) $6(\sqrt{3}+1)^2 : 6^{2}\sqrt{3}$;

2) $7^{\sqrt{27}} : 49^{\sqrt{3}}$;

3) $((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$.

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{7}}-5)(a^{\sqrt{7}}+5)-(a^{\sqrt{7}}+2)^2$;

2) $\frac{a^{2\sqrt{2}}+3a^{\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{2}}-9}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $4^{0,7}$ и $4^{\sqrt{3}}$;

2) $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$;

3) $(\sqrt{3}-1)^{-3,4}$ и $(\sqrt{3}-1)^{-3,3}$;

4) $(3-\sqrt{8})^{3,4}$ и $(3+\sqrt{8})^{-3,5}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -8^x$;

2) $y = (\frac{1}{8})^x + 6$;

3) $y = 8^{|x|}$;

4) $y = (\frac{1}{7})^{\sin x} - 4$.

5. Постройте график функции:

1) $y = (\frac{1}{2})^{x-2}$;

2) $y = |3^x - 1|$.

6. Решите неравенство:

$2^{|x|}+3 \le 3\cos x + 5$.

1. Найдите значение выражения:

1) $6^{(\sqrt{3} + 1)^2} : 6^{2\sqrt{3}}$
Сначала упростим показатель первого множителя: $(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, вычитая показатели:
$6^{4 + 2\sqrt{3}} : 6^{2\sqrt{3}} = 6^{(4 + 2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}} = 6^4 = 1296$.
Ответ: $1296$.

2) $7^{\sqrt{27}} : 49^{\sqrt{3}}$
Упростим показатели и приведем степени к одному основанию $7$:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
$49^{\sqrt{3}} = (7^2)^{\sqrt{3}} = 7^{2\sqrt{3}}$.
Теперь выполним деление:
$7^{3\sqrt{3}} : 7^{2\sqrt{3}} = 7^{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}} = 7^{\sqrt{3}}$.
Ответ: $7^{\sqrt{3}}$.

3) $((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ последовательно:
$((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = (10^{1/3})^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = (10^{1/3})^6 = 10^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 10^2 = 100$.
Ответ: $100$.

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{7}}-5)(a^{\sqrt{7}}+5) - (a^{\sqrt{7}}+2)^2$
Применим формулу разности квадратов для первого произведения и формулу квадрата суммы для второго слагаемого:
$(a^{\sqrt{7}})^2 - 5^2 - ((a^{\sqrt{7}})^2 + 2 \cdot a^{\sqrt{7}} \cdot 2 + 2^2) = (a^{2\sqrt{7}} - 25) - (a^{2\sqrt{7}} + 4a^{\sqrt{7}} + 4)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^{2\sqrt{7}} - 25 - a^{2\sqrt{7}} - 4a^{\sqrt{7}} - 4 = -4a^{\sqrt{7}} - 29$.
Ответ: $-4a^{\sqrt{7}} - 29$.

2) $\frac{a^{2\sqrt{2}} + 3a^{\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{2}} - 9}$
Пусть $x = a^{\sqrt{2}}$. Тогда выражение примет вид $\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}$.
Сократим дробь на $(x+3)$ (при $x \neq -3$, что всегда верно, так как $a^{\sqrt{2}} > 0$):
$\frac{x}{x-3}$.
Вернемся к исходной переменной:
$\frac{a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}}-3}$.
Ответ: $\frac{a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}}-3}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $4^{0,7}$ и $4^{2/3}$
Сравним показатели степени $0,7$ и $2/3$.
$0,7 = 7/10$. Приведем дроби к общему знаменателю $30$: $7/10 = 21/30$ и $2/3 = 20/30$.
Так как $21/30 > 20/30$, то $0,7 > 2/3$.
Основание степени $4 > 1$, поэтому показательная функция $y=4^x$ возрастающая. Большему значению показателя соответствует большее значение степени.
Следовательно, $4^{0,7} > 4^{2/3}$.
Ответ: $4^{0,7} > 4^{2/3}$.

2) $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$
Представим $1$ как $0,8^0$. Сравним $0,8^0$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$.
Сравним показатели $0$ и $-\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $0 > -\sqrt{3}$.
Основание степени $0,8 < 1$, поэтому показательная функция $y=0,8^x$ убывающая. Большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.
Следовательно, $0,8^0 < 0,8^{-\sqrt{3}}$, то есть $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.
Ответ: $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.

3) $(\sqrt{3}-1)^{-3,4}$ и $(\sqrt{3}-1)^{-3,3}$
Основание степени $\sqrt{3}-1 \approx 1,732 - 1 = 0,732$. Так как $0 < \sqrt{3}-1 < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей.
Сравним показатели: $-3,4 < -3,3$.
Для убывающей функции меньшему значению показателя соответствует большее значение степени.
Следовательно, $(\sqrt{3}-1)^{-3,4} > (\sqrt{3}-1)^{-3,3}$.
Ответ: $(\sqrt{3}-1)^{-3,4} > (\sqrt{3}-1)^{-3,3}$.

4) $(3-\sqrt{8})^{3,4}$ и $(3+\sqrt{8})^{-3,5}$
Заметим, что $(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8}) = 3^2 - (\sqrt{8})^2 = 9-8=1$.
Отсюда $3-\sqrt{8} = \frac{1}{3+\sqrt{8}} = (3+\sqrt{8})^{-1}$.
Преобразуем первое выражение: $(3-\sqrt{8})^{3,4} = ((3+\sqrt{8})^{-1})^{3,4} = (3+\sqrt{8})^{-3,4}$.
Теперь сравним $(3+\sqrt{8})^{-3,4}$ и $(3+\sqrt{8})^{-3,5}$.
Основание $3+\sqrt{8} > 1$, поэтому функция является возрастающей.
Сравним показатели: $-3,4 > -3,5$.
Для возрастающей функции большему значению показателя соответствует большее значение степени.
Следовательно, $(3+\sqrt{8})^{-3,4} > (3+\sqrt{8})^{-3,5}$, а значит $(3-\sqrt{8})^{3,4} > (3+\sqrt{8})^{-3,5}$.
Ответ: $(3-\sqrt{8})^{3,4} > (3+\sqrt{8})^{-3,5}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -8^x$
Область значений функции $f(x)=8^x$ есть $(0; +\infty)$.
Функция $y = -8^x$ получается отражением графика $f(x)$ относительно оси Ox, поэтому ее значения будут противоположны по знаку.
Следовательно, область значений $y$ есть $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2) $y = (\frac{1}{8})^x + 6$
Область значений функции $f(x)=(\frac{1}{8})^x$ есть $(0; +\infty)$, то есть $(\frac{1}{8})^x > 0$.
Тогда $y = (\frac{1}{8})^x + 6 > 0 + 6 = 6$.
Следовательно, область значений $y$ есть $(6; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (6; +\infty)$.

3) $y = 8^{|x|}$
Показатель степени $|x|$ принимает значения из промежутка $[0; +\infty)$.
Так как основание $8>1$, функция $f(t)=8^t$ возрастающая. Наименьшее значение будет при наименьшем показателе, то есть при $|x|=0$.
$y_{min} = 8^0 = 1$.
Следовательно, область значений функции есть $[1; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

4) $y = (\frac{1}{7})^{|\sin x|} - 4$
Значения $\sin x$ лежат в отрезке $[-1; 1]$, поэтому $|\sin x|$ принимает значения из отрезка $[0; 1]$.
Функция $f(t)=(\frac{1}{7})^t$ является убывающей, так как основание $1/7 < 1$.
Поэтому, при $0 \le |\sin x| \le 1$ выполняется двойное неравенство:
$(\frac{1}{7})^1 \le (\frac{1}{7})^{|\sin x|} \le (\frac{1}{7})^0$, то есть $\frac{1}{7} \le (\frac{1}{7})^{|\sin x|} \le 1$.
Вычитая $4$ из всех частей, получаем:
$\frac{1}{7} - 4 \le y \le 1 - 4$, то есть $-\frac{27}{7} \le y \le -3$.
Область значений функции есть $[-\frac{27}{7}; -3]$.
Ответ: $E(y) = [-\frac{27}{7}; -3]$.

5. Постройте график функции:

1) $y = (\frac{1}{2})^{x-2}$
График этой функции получается из графика функции $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
Базовый график $y = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
После сдвига, график функции $y = (\frac{1}{2})^{x-2}$ также будет убывающей кривой. Он будет проходить через точку $(2,1)$ (так как $y(2) = (\frac{1}{2})^{2-2} = 1$), а горизонтальная асимптота останется $y=0$.
Ответ: График — убывающая экспоненциальная кривая, проходящая через точки $(1, 2), (2, 1), (3, 0.5)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

2) $y = |3^x - 1|$
Построение графика выполняется в три этапа:
1. Строим график $y=3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через $(0,1)$.
2. Строим график $y=3^x - 1$, сдвигая предыдущий график на 1 единицу вниз. Он проходит через $(0,0)$, асимптота $y=-1$.
3. Строим график $y=|3^x - 1|$. Часть графика $y=3^x-1$, которая находится ниже оси Ox (при $x<0$), отражается симметрично относительно оси Ox. Часть, которая выше (при $x \ge 0$), остается на месте.
Итоговый график имеет "излом" в точке $(0,0)$ и горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$.
Ответ: График имеет излом в точке $(0,0)$, горизонтальную асимптоту $y=1$ слева, и неограниченно возрастает справа.

6. Решите неравенство $2^{|x|} + 3 \le 3\cos x + 5$.

Заметим, что данное неравенство, скорее всего, содержит опечатку. В стандартных задачах такого типа решение обычно находится методом оценки (граничных значений). Если предположить, что в правой части вместо 5 должно быть 1, то есть $2^{|x|} + 3 \le 3\cos x + 1$, задача решается следующим образом:

Оценим левую и правую части неравенства $2^{|x|} + 3 \le 3\cos x + 1$.
Левая часть: $f(x) = 2^{|x|} + 3$. Так как $|x| \ge 0$, то $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Следовательно, $f(x) = 2^{|x|} + 3 \ge 1+3=4$. Наименьшее значение левой части равно 4 и достигается только при $x=0$.
Правая часть: $g(x) = 3\cos x + 1$. Так как $\cos x \le 1$, то $3\cos x \le 3$. Следовательно, $g(x) = 3\cos x + 1 \le 3+1=4$. Наибольшее значение правой части равно 4 и достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Неравенство $f(x) \le g(x)$ может выполняться только в том случае, когда обе части одновременно равны 4, так как $f(x) \ge 4$ и $g(x) \le 4$.
Система уравнений:
$\begin{cases} 2^{|x|} + 3 = 4 \\ 3\cos x + 1 = 4 \end{cases}$
Из первого уравнения: $2^{|x|} = 1$, что дает $|x|=0$, то есть $x=0$.
Из второго уравнения: $3\cos x = 3$, что дает $\cos x = 1$, то есть $x=2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Единственное решение, удовлетворяющее обоим уравнениям, это $x=0$.
Ответ: $0$.

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $0,04^x - 6 = 5^x + 4;$

2) $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20;$

3) $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0;$

4) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3;$

5) $4^x + 6^x - 2 \cdot 9^x = 0;$

6) $7^x = 51 - x.$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $25^x - (a + 7) \cdot 5^x + 5a + 10 = 0$ имеет один действительный корень?

1) Решим уравнение $0.04^{x-6} = 5^{x+4}$.
Преобразуем основание $0.04$ к основанию $5$:
$0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(5^{-2})^{x-6} = 5^{x+4}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{-2(x-6)} = 5^{x+4}$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$-2(x-6) = x+4$
$-2x + 12 = x + 4$
$12 - 4 = x + 2x$
$8 = 3x$
$x = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Решим уравнение $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20$.
Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$.
Уравнение принимает вид:
$2^x + 3 \cdot \frac{2^x}{2} = 20$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(1 + \frac{3}{2}) = 20$
$2^x(\frac{2}{2} + \frac{3}{2}) = 20$
$2^x \cdot \frac{5}{2} = 20$
Теперь выразим $2^x$:
$2^x = 20 \cdot \frac{2}{5}$
$2^x = 4 \cdot 2$
$2^x = 8$.
Представим $8$ как степень числа $2$: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$
$x=3$.
Ответ: 3.

3) Решим уравнение $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $5^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 30t + 125 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 30, а произведение равно 125. Легко подобрать корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1. $5^x = t_1 \implies 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.
2. $5^x = t_2 \implies 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x = 2$.
Ответ: 1; 2.

4) Решим уравнение $4^{\cos(2x)} + 4^{\cos^2(x)} = 3$.
Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.
Подставим это в уравнение:
$4^{2\cos^2(x)-1} + 4^{\cos^2(x)} = 3$.
Преобразуем первое слагаемое: $4^{2\cos^2(x)-1} = \frac{4^{2\cos^2(x)}}{4} = \frac{(4^{\cos^2(x)})^2}{4}$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{(4^{\cos^2(x)})^2}{4} + 4^{\cos^2(x)} = 3$.
Сделаем замену: пусть $t = 4^{\cos^2(x)}$. Так как $0 \le \cos^2(x) \le 1$, то $4^0 \le 4^{\cos^2(x)} \le 4^1$, следовательно $1 \le t \le 4$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$\frac{t^2}{4} + t - 3 = 0$.
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 + 4t - 12 = 0$.
Найдем корни по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -12$, $t_1 + t_2 = -4$. Корни $t_1 = -6$ и $t_2 = 2$.
Проверим корни на соответствие условию $1 \le t \le 4$:
$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию.
$t_2 = 2$ удовлетворяет условию.
Вернемся к замене:
$4^{\cos^2(x)} = 2$
$(2^2)^{\cos^2(x)} = 2^1$
$2^{2\cos^2(x)} = 2^1$.
Приравниваем показатели:
$2\cos^2(x) = 1 \implies \cos^2(x) = \frac{1}{2}$.
Отсюда $\cos(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $4^x + 6^x - 2 \cdot 9^x = 0$.
Это однородное показательное уравнение. Представим основания степеней через простые множители: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$.
$(2^2)^x + (2 \cdot 3)^x - 2 \cdot (3^2)^x = 0$
$(2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0$.
Разделим обе части уравнения на $(3^x)^2$, которое не равно нулю ни при каких $x$:
$\frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - 2\frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$
$(\frac{2^x}{3^x})^2 + \frac{2^x}{3^x} - 2 = 0$
$(\frac{2}{3})^{2x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$.
Сделаем замену: пусть $t = (\frac{2}{3})^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 2 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t>0$.
Остается один корень $t_1 = 1$.
Вернемся к замене:
$(\frac{2}{3})^x = 1$.
Так как любое число в степени 0 равно 1, то $x=0$.
Ответ: 0.

6) Решим уравнение $7^x = 51 - x$.
Рассмотрим две функции: $f(x) = 7^x$ и $g(x) = 51 - x$.
Функция $f(x) = 7^x$ является показательной с основанием больше 1, следовательно, она строго возрастает на всей числовой оси.
Функция $g(x) = 51 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, она строго убывает на всей числовой оси.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором, проверяя целые значения $x$.
При $x=1$: $7^1 = 7$, $51-1=50$. $7 \ne 50$.
При $x=2$: $7^2 = 49$, $51-2=49$. Равенство $49=49$ верно.
Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то это и есть решение.
Ответ: 2.

2. Найдем, при каких значениях параметра $a$ уравнение $25^x - (a+7) \cdot 5^x + 5a + 10 = 0$ имеет один действительный корень.
Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение является квадратным относительно $5^x$.
Произведем замену переменной: пусть $t = 5^x$. Поскольку $x$ — действительное число, $t$ должно быть строго положительным ($t > 0$). Каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x = \log_5(t)$.
Уравнение в новых переменных:
$t^2 - (a+7)t + (5a+10) = 0$.
Исходное уравнение имеет один действительный корень тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.
Возможны два случая:
1) Уравнение имеет один (кратный) корень, и этот корень положителен.
2) Уравнение имеет два различных корня, один из которых положителен, а другой — неположителен (т.е. $\le 0$).
Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:
$D = (a+7)^2 - 4(5a+10) = a^2 + 14a + 49 - 20a - 40 = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.
Поскольку $D = (a-3)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Корни уравнения: $t = \frac{a+7 \pm \sqrt{(a-3)^2}}{2} = \frac{a+7 \pm |a-3|}{2}$.

Рассмотрим случаи в зависимости от значения $a$.
Случай 1: $a = 3$
$D = (3-3)^2 = 0$. Уравнение имеет один кратный корень:
$t = \frac{3+7}{2} = 5$.
Корень $t=5$ положителен. Ему соответствует один корень $x = \log_5(5) = 1$.
Значит, $a=3$ является решением.

Случай 2: $a \ne 3$
$D > 0$. Уравнение имеет два различных корня.
Подслучай 2а: $a > 3$
$|a-3| = a-3$.
$t_1 = \frac{a+7 + (a-3)}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$.
$t_2 = \frac{a+7 - (a-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Поскольку $a>3$, то $a+2 > 5$. Оба корня $t_1$ и $t_2$ положительны, что дает два решения для $x$. Этот случай не подходит.
Подслучай 2б: $a < 3$
$|a-3| = -(a-3) = 3-a$.
$t_1 = \frac{a+7 + (3-a)}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$t_2 = \frac{a+7 - (3-a)}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$.
Один корень $t_1 = 5$ всегда положителен, он дает одно решение для $x$. Чтобы итоговое решение для $x$ было единственным, второй корень $t_2$ не должен давать решений, то есть должен быть неположительным: $t_2 \le 0$.
$a+2 \le 0 \implies a \le -2$.
Это условие ($a \le -2$) согласуется с условием подслучая ($a < 3$).
Следовательно, все $a \le -2$ являются решениями.

Объединяя результаты из случая 1 и подслучая 2б, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a=3$ или при $a \le -2$.
Ответ: $a \in (-\infty, -2] \cup \{3\}$.