Страница 20 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНОЙ

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

2) $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}).$

2. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-5}}, I = (\frac{5}{7}; +\infty), A(3; 2);$

2) $f(x) = \frac{1}{4x-1} - e^{-3x}, I = (-\infty; \frac{1}{4}), M(0; 1).$

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 5 - 2t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии 32 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

4. Найдите $\int \cos 7x \cos 4x \, dx$.

1.

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.
Для функции $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ представим ее в виде $f(x) = x^4 - 3x^{-1/2}$.
Используя правило нахождения первообразной для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получим:
$F(x) = \int (x^4 - 3x^{-1/2}) dx = \int x^4 dx - 3 \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^5}{5} - 3 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.

2) Для функции $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ найдем общий вид первообразных.
Используя табличные первообразные $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$, получим:
$F(x) = \int (\frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x) dx = 7 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 2 \int \sin x dx = 7\tan x + 2(-\cos x) + C = 7\tan x - 2\cos x + C$.
Ответ: $F(x) = 7\tan x - 2\cos x + C$.

2.

1) Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-5}} = (7x-5)^{-1/2}$.
Используя правило $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получим:
$F(x) = \int (7x-5)^{-1/2} dx = \frac{1}{7} \frac{(7x-5)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{7} \frac{(7x-5)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{7}\sqrt{7x-5} + C$.
Так как график первообразной проходит через точку $A(3; 2)$, то должно выполняться условие $F(3) = 2$. Подставим значения:
$\frac{2}{7}\sqrt{7 \cdot 3 - 5} + C = 2$
$\frac{2}{7}\sqrt{16} + C = 2$
$\frac{2}{7} \cdot 4 + C = 2$
$\frac{8}{7} + C = 2$
$C = 2 - \frac{8}{7} = \frac{6}{7}$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{7}\sqrt{7x-5} + \frac{6}{7}$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{7}\sqrt{7x-5} + \frac{6}{7}$.

2) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{4x-1} - e^{-3x}$.
Используя табличные первообразные $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$ и $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$, получим:
$F(x) = \int (\frac{1}{4x-1} - e^{-3x}) dx = \frac{1}{4}\ln|4x-1| - (\frac{1}{-3}e^{-3x}) + C = \frac{1}{4}\ln|4x-1| + \frac{1}{3}e^{-3x} + C$.
На промежутке $I = (-\infty; \frac{1}{4})$ выражение $4x-1$ отрицательно, поэтому $|4x-1| = -(4x-1) = 1-4x$.
$F(x) = \frac{1}{4}\ln(1-4x) + \frac{1}{3}e^{-3x} + C$.
Так как график первообразной проходит через точку $M(0; 1)$, то $F(0) = 1$. Подставим значения:
$\frac{1}{4}\ln(1-4 \cdot 0) + \frac{1}{3}e^{-3 \cdot 0} + C = 1$
$\frac{1}{4}\ln(1) + \frac{1}{3}e^0 + C = 1$
$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + C = 1$
$C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(1-4x) + \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{2}{3}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(1-4x) + \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{2}{3}$.

3. Зависимость координаты точки от времени $x(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$.
Найдем общий вид первообразной для $v(t) = 5 - 2t$:
$x(t) = \int (5 - 2t) dt = 5t - 2\frac{t^2}{2} + C = 5t - t^2 + C$.
По условию, в момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии 32 м от начала координат, то есть $|x(4)| = 32$. Это означает, что $x(4) = 32$ или $x(4) = -32$.
Рассмотрим два возможных случая:
1) Если $x(4) = 32$:
$5(4) - (4)^2 + C = 32 \Rightarrow 20 - 16 + C = 32 \Rightarrow 4 + C = 32 \Rightarrow C = 28$.
В этом случае формула: $x(t) = -t^2 + 5t + 28$.
2) Если $x(4) = -32$:
$5(4) - (4)^2 + C = -32 \Rightarrow 20 - 16 + C = -32 \Rightarrow 4 + C = -32 \Rightarrow C = -36$.
В этом случае формула: $x(t) = -t^2 + 5t - 36$.
Ответ: $x(t) = -t^2 + 5t + 28$ или $x(t) = -t^2 + 5t - 36$.

4. Для нахождения интеграла $\int \cos 7x \cos 4x dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
Применим эту формулу к подынтегральному выражению, где $\alpha=7x$ и $\beta=4x$:
$\cos 7x \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 4x) + \cos(7x + 4x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x)$.
Теперь проинтегрируем полученное выражение:
$\int \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 3x + \cos 11x) dx$
$= \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx + \int \cos 11x dx) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{11}\sin 11x) + C$
$= \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{22}\sin 11x + C$.
Ответ: $\frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{22}\sin 11x + C$.

Самостоятельная работа № 11

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-2}^{0} (x^2 + 6x)dx;$

2) $\int_{0}^{0.5} \frac{12dx}{(4x - 3)^4};$

3) $\int_{-2}^{-1} (x^2 + \frac{6}{x})dx;$

4) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 \frac{x}{6}dx;$

5) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^x - x^3}{x^3e^x}dx.$

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \cos \frac{x}{2}$ и прямыми $y = 0, x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2};$

2) графиками функций $y = \sqrt{5 - x}$ и $y = \sqrt{x + 3}$ и осью абсцисс.

1. Вычислите интеграл:

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = x^2 + 6x $: $ F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{6x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^3}{3} + 3x^2 $.
Теперь вычислим интеграл: $ \int_{-2}^{0} (x^2 + 6x)dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2\right) \right|_{-2}^{0} = \left(\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 3(-2)^2\right) = 0 - \left(\frac{-8}{3} + 3 \cdot 4\right) = -\left(-\frac{8}{3} + 12\right) = \frac{8}{3} - 12 = \frac{8 - 36}{3} = -\frac{28}{3} $.
Ответ: $ -\frac{28}{3} $.

2) Вынесем константу за знак интеграла и найдем первообразную. Удобно сделать замену $ t = 4x - 3 $, тогда $ dt = 4dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{4} $. $ \int \frac{12}{(4x - 3)^4} dx = 12 \int (4x-3)^{-4} dx $. Первообразная: $ 12 \cdot \frac{(4x-3)^{-3}}{-3 \cdot 4} = -\frac{1}{(4x-3)^3} $.
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{0}^{0,5} \frac{12}{(4x - 3)^4} dx = \left. \left(-\frac{1}{(4x-3)^3}\right) \right|_{0}^{0,5} = \left(-\frac{1}{(4 \cdot 0,5 - 3)^3}\right) - \left(-\frac{1}{(4 \cdot 0 - 3)^3}\right) = \left(-\frac{1}{(2 - 3)^3}\right) - \left(-\frac{1}{(-3)^3}\right) = \left(-\frac{1}{(-1)^3}\right) - \left(-\frac{1}{-27}\right) = 1 - \frac{1}{27} = \frac{26}{27} $.
Ответ: $ \frac{26}{27} $.

3) Интеграл суммы равен сумме интегралов. Найдем первообразную для $ x^2 + \frac{6}{x} $: $ F(x) = \frac{x^3}{3} + 6\ln|x| $.
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{-2}^{-1} \left(x^2 + \frac{6}{x}\right) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + 6\ln|x|\right) \right|_{-2}^{-1} = \left(\frac{(-1)^3}{3} + 6\ln|-1|\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 6\ln|-2|\right) = \left(-\frac{1}{3} + 6 \cdot 0\right) - \left(-\frac{8}{3} + 6\ln(2)\right) = -\frac{1}{3} + \frac{8}{3} - 6\ln(2) = \frac{7}{3} - 6\ln(2) $.
Ответ: $ \frac{7}{3} - 6\ln(2) $.

4) Используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $. $ 2\sin^2\frac{x}{6} = 2 \cdot \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{6})}{2} = 1 - \cos\frac{x}{3} $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 - \cos\frac{x}{3}\right) dx $.
Найдем первообразную: $ F(x) = x - 3\sin\frac{x}{3} $.
Вычислим интеграл: $ \left. \left(x - 3\sin\frac{x}{3}\right) \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{\pi/2}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{-\pi/2}{3}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{\pi}{6}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + 3\sin\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} = \pi - 3 $.
Ответ: $ \pi - 3 $.

5) Упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно: $ \frac{e^x - x^3}{x^3e^x} = \frac{e^x}{x^3e^x} - \frac{x^3}{x^3e^x} = \frac{1}{x^3} - \frac{1}{e^x} = x^{-3} - e^{-x} $.
Найдем первообразную: $ F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} - \frac{e^{-x}}{-1} = -\frac{1}{2x^2} + e^{-x} $.
Вычислим интеграл: $ \int_{-2}^{-1} (x^{-3} - e^{-x})dx = \left. \left(-\frac{1}{2x^2} + e^{-x}\right) \right|_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{2(-1)^2} + e^{-(-1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(-2)^2} + e^{-(-2)}\right) = \left(-\frac{1}{2} + e\right) - \left(-\frac{1}{8} + e^2\right) = e - \frac{1}{2} - e^2 + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{3}{8} $.
Ответ: $ e - e^2 - \frac{3}{8} $.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $ y = \cos\frac{x}{2} $ и прямыми $ y = 0, x = -\frac{\pi}{2} $ и $ x = \frac{\pi}{2} $
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y = f(x) $, осью Ox и прямыми $ x = a $ и $ x = b $, где $ f(x) \ge 0 $ на $ [a, b] $, вычисляется по формуле $ S = \int_{a}^{b} f(x)dx $.
На отрезке $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ функция $ y = \cos\frac{x}{2} $ неотрицательна, так как $ \frac{x}{2} $ изменяется в пределах $ \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] $, где косинус положителен.
Вычисляем площадь: $ S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\frac{x}{2} dx $.
Первообразная для $ \cos\frac{x}{2} $ равна $ 2\sin\frac{x}{2} $.
$ S = \left. 2\sin\frac{x}{2} \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\sin\left(\frac{\pi/2}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{-\pi/2}{2}\right) = 2\sin\frac{\pi}{4} - 2\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\sin\frac{\pi}{4} + 2\sin\frac{\pi}{4} = 4\sin\frac{\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $.
Ответ: $ 2\sqrt{2} $.

2) графиками функций $ y = \sqrt{5-x} $ и $ y = \sqrt{x+3} $ и осью абсцисс.
Найдем точки пересечения графиков друг с другом и с осью абсцисс ($ y = 0 $).
1. Пересечение $ y = \sqrt{5-x} $ и $ y = \sqrt{x+3} $: $ \sqrt{5-x} = \sqrt{x+3} \implies 5-x = x+3 \implies 2x = 2 \implies x = 1 $.
2. Пересечение $ y = \sqrt{5-x} $ с осью Ox: $ \sqrt{5-x} = 0 \implies x = 5 $.
3. Пересечение $ y = \sqrt{x+3} $ с осью Ox: $ \sqrt{x+3} = 0 \implies x = -3 $.
Фигура ограничена снизу осью абсцисс. Сверху она ограничена графиком $ y = \sqrt{x+3} $ на отрезке $ [-3, 1] $ и графиком $ y = \sqrt{5-x} $ на отрезке $ [1, 5] $.
Площадь фигуры равна сумме двух интегралов: $ S = \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx + \int_{1}^{5} \sqrt{5-x} dx $.
Вычислим первый интеграл: $ \int_{-3}^{1} (x+3)^{1/2} dx = \left. \frac{(x+3)^{3/2}}{3/2} \right|_{-3}^{1} = \left. \frac{2}{3}(x+3)^{3/2} \right|_{-3}^{1} = \frac{2}{3}(1+3)^{3/2} - \frac{2}{3}(-3+3)^{3/2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $.
Вычислим второй интеграл: $ \int_{1}^{5} (5-x)^{1/2} dx = \left. -\frac{(5-x)^{3/2}}{3/2} \right|_{1}^{5} = \left. -\frac{2}{3}(5-x)^{3/2} \right|_{1}^{5} = -\frac{2}{3}(5-5)^{3/2} - \left(-\frac{2}{3}(5-1)^{3/2}\right) = 0 + \frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $.
Общая площадь: $ S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} $.
Ответ: $ \frac{32}{3} $.