Номер 14, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Комплексная плоскость.

Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) $5$;

2) $-4i$;

3) $2\sqrt{3} - 2i$;

4) $\frac{1+3i}{1-i}$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию:

1) $\text{Re } z = 2$;

2) $z\bar{z} \ge 4$;

3) $|z - i| < 3$;

4) $|z - 2| = |z - 1 + i|$.

1)Дано комплексное число $z = 5$. В алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = 5$ и $y = 0$. Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{5}{5} = 1$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{0}{5} = 0$. Из этих соотношений следует, что $\varphi = 0$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z=5$ есть $5(\cos 0 + i \sin 0)$.
Ответ: $5(\cos 0 + i \sin 0)$.

2)Дано комплексное число $z = -4i$. В алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = 0$ и $y = -4$. Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{0}{4} = 0$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-4}{4} = -1$. Число находится на отрицательной части мнимой оси, поэтому аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.
Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Ответ: $4(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

3)Дано комплексное число $z = 2\sqrt{3} - 2i$. Здесь $x = 2\sqrt{3}$ и $y = -2$. Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Число находится в четвертой четверти комплексной плоскости. Угол, для которого косинус положителен, а синус отрицателен, равен $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.
Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
Ответ: $4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

4)Сначала приведем число к алгебраической форме $z = x + yi$, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю.
$z = \frac{1 + 3i}{1 - i} = \frac{(1 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i + 3i + 3i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 4i - 3}{1 - (-1)} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i$.
Теперь для $z = -1 + 2i$ найдем модуль и аргумент. $x = -1$, $y = 2$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Число находится во второй четверти. Аргумент $\varphi = \operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})$.
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{5}(\cos(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})) + i \sin(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})))$.
Ответ: $\sqrt{5}(\cos(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})) + i \sin(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})))$.

1)Пусть $z = x + yi$, где $x$ - действительная часть (Re z), а $y$ - мнимая часть (Im z). Условие Re $z = 2$ означает, что $x = 2$. На комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывается действительная часть, а по оси ординат - мнимая, это уравнение задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, является вертикальной прямой с уравнением $x=2$.

2)Пусть $z = x + yi$. Тогда сопряженное ему число $\bar{z} = x - yi$. Произведение $z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2$. Также известно, что $z\bar{z} = |z|^2$. Неравенство принимает вид $x^2 + y^2 \ge 4$. Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 2$. Неравенство $x^2 + y^2 \ge 4$ описывает все точки, лежащие на этой окружности и вне ее.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, представляет собой все точки комплексной плоскости, лежащие на окружности $|z|=2$ с центром в начале координат и радиусом 2, а также все точки вне этой окружности.

3)Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. В данном случае $z_0 = i$, что соответствует точке $(0, 1)$. Неравенство $|z - i| < 3$ означает, что расстояние от точки $z$ до точки $i$ меньше 3. Это множество точек представляет собой открытый круг (без границы) с центром в точке $i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $R=3$. Алгебраически, пусть $z = x + yi$: $|x + yi - i| < 3 \Rightarrow |x + (y-1)i| < 3 \Rightarrow \sqrt{x^2 + (y-1)^2} < 3 \Rightarrow x^2 + (y-1)^2 < 9$.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, является открытым кругом с центром в точке $i$ (координаты $(0,1)$) и радиусом 3.

4)Уравнение $|z - z_1| = |z - z_2|$ задает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1$ и $z_2$. В данном случае $z_1 = 2$ (точка $(2, 0)$) и $z_2 = 1 - i$ (точка $(1, -1)$). Геометрически, это множество является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $z_1$ и $z_2$. Найдем уравнение этой прямой алгебраически. Пусть $z = x + yi$:
$|x + yi - 2| = |x + yi - (1 - i)|$
$|(x-2) + yi| = |(x-1) + (y+1)i|$
$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-2)^2 + y^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$-4x + 4 = -2x + 2y + 2$
$2 = 2x + 2y$
$x + y = 1$ или $y = -x + 1$.
Это уравнение прямой линии.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, является прямой, заданной уравнением $y = -x+1$.