Номер 12, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Вычисление объёмов тел

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = x^2 - 4x + 5$;

2) $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$.

2. Найдите, при каком значении параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$ и прямыми $y = 0, x = a - 2, x = a$, принимает наименьшее значение.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите

$\int_3^6 \sqrt{6x - x^2} dx.$

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x - 1}$ и прямыми $x = 3$ и $y = 0$.

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = x^2 - 4x + 5$

Сначала найдем точки пересечения графиков, приравняв выражения для $y$:

$-x^2 + 2x + 1 = x^2 - 4x + 5$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решая квадратное уравнение, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Это будут пределы интегрирования.

Определим, какая функция находится выше на интервале $(1, 2)$. Возьмем пробную точку, например, $x = 1.5$:

$y_1 = -(1.5)^2 + 2(1.5) + 1 = -2.25 + 3 + 1 = 1.75$

$y_2 = (1.5)^2 - 4(1.5) + 5 = 2.25 - 6 + 5 = 1.25$

Поскольку $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 2)$, график функции $y = -x^2 + 2x + 1$ лежит выше графика $y = x^2 - 4x + 5$.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{2} ((-x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 4x + 5)) \,dx = \int_{1}^{2} (-2x^2 + 6x - 4) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 4x \right]_{1}^{2}$

$S = \left(-\frac{2}{3}(2)^3 + 3(2)^2 - 4(2)\right) - \left(-\frac{2}{3}(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} + 12 - 8\right) - \left(-\frac{2}{3} + 3 - 4\right) = \left(-\frac{16}{3} + 4\right) - \left(-\frac{2}{3} - 1\right)$

$S = -\frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$

Раскроем модуль в функции $y = |x^2 - 2x|$: $y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{при } x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty) \\ -(x^2 - 2x) = 2x - x^2, & \text{при } x \in (0, 2) \end{cases}$

Найдем точки пересечения графика $y = x$ с каждой частью функции $y = |x^2 - 2x|$:

Для $x \le 0$ или $x \ge 2$: $x = x^2 - 2x \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3)=0$. Корни $x=0$ и $x=3$ удовлетворяют условию.

Для $0 < x < 2$: $x = 2x - x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1)=0$. Корень $x=1$ удовлетворяет условию ($x=0$ не входит в интервал).

Точки пересечения: $x=0, x=1, x=3$. Площадь нужно разбить на три интеграла: от 0 до 1, от 1 до 2 и от 2 до 3.

На интервале $(0, 1)$: $y = 2x - x^2$ лежит выше $y=x$. Площадь $S_1 = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$.

На интервале $(1, 2)$: $y = x$ лежит выше $y = 2x - x^2$. Площадь $S_2 = \int_{1}^{2} (x - (2x - x^2)) \,dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x) \,dx$.

На интервале $(2, 3)$: $y = x$ лежит выше $y = x^2 - 2x$. Площадь $S_3 = \int_{2}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \,dx = \int_{2}^{3} (3x - x^2) \,dx$.

Вычислим интегралы:

$S_1 = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$S_2 = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \left(\frac{8}{3} - \frac{4}{2}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{5}{6}$

$S_3 = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \left(\frac{27}{2} - \frac{27}{3}\right) - \left(\frac{12}{2} - \frac{8}{3}\right) = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - \left(6 - \frac{8}{3}\right) = \frac{9}{2} - \frac{10}{3} = \frac{7}{6}$

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{13}{6}$.

Ответ: $\frac{13}{6}$.

2. Найдите, при каком значении параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$ и прямыми $y = 0, x = a - 2, x = a$, принимает наименьшее значение.

Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху параболой $y=6x^2$ (которая всегда неотрицательна), снизу осью $y=0$, и по бокам прямыми $x=a-2$ и $x=a$.

Площадь $S$ этой фигуры можно найти с помощью определенного интеграла:

$S(a) = \int_{a-2}^{a} 6x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$S(a) = \left[ 6\frac{x^3}{3} \right]_{a-2}^{a} = [2x^3]_{a-2}^{a} = 2a^3 - 2(a-2)^3$

Раскроем скобки:

$S(a) = 2a^3 - 2(a^3 - 6a^2 + 12a - 8) = 2a^3 - 2a^3 + 12a^2 - 24a + 16$

$S(a) = 12a^2 - 24a + 16$

Получили квадратичную функцию от $a$. График этой функции — парабола с ветвями вверх, поэтому ее наименьшее значение достигается в вершине. Координату вершины $a_0$ найдем по формуле $a_0 = -\frac{b}{2c}$:

$a = -\frac{-24}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1$

Таким образом, площадь принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $a=1$.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите $\int_{3}^{6} \sqrt{6x - x^2} \,dx$.

Данный интеграл представляет собой площадь под кривой $y = \sqrt{6x - x^2}$ на отрезке $[3, 6]$.

Рассмотрим уравнение кривой $y = \sqrt{6x - x^2}$. Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $y \ge 0$):

$y^2 = 6x - x^2$

$x^2 - 6x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для $x$:

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + y^2 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 = 9$

Это уравнение окружности с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $r=3$. Исходное уравнение $y = \sqrt{6x - x^2}$ описывает верхнюю половину этой окружности.

Интеграл вычисляется по отрезку от $x=3$ до $x=6$. Этот отрезок соответствует части окружности от ее центра до правого края. Таким образом, искомая площадь — это площадь четверти круга радиуса 3.

Площадь всего круга равна $A = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$.

Площадь четверти круга равна:

$S = \frac{1}{4} A = \frac{9\pi}{4}$

Ответ: $\frac{9\pi}{4}$.

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x-1}$ и прямыми $x=3$ и $y=0$.

Фигура ограничена кривой $y = \sqrt{x-1}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x=3$. Кривая $y=\sqrt{x-1}$ пересекает ось абсцисс в точке $x=1$. Таким образом, фигура расположена на отрезке $x \in [1, 3]$.

Объём тела вращения вокруг оси абсцисс вычисляется по формуле дискового метода:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x-1}$, $a=1$, $b=3$.

$V = \pi \int_{1}^{3} (\sqrt{x-1})^2 \,dx = \pi \int_{1}^{3} (x-1) \,dx$

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{3} = \pi \left( (\frac{3^2}{2} - 3) - (\frac{1^2}{2} - 1) \right)$

$V = \pi \left( (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) \right) = \pi \left( \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \pi (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = \pi \cdot \frac{4}{2} = 2\pi$

Ответ: $2\pi$.