Номер 15, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень $n$-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 4 \left(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}\right)$, $z_2 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} - i\sin \frac{\pi}{3}\right);$

2) $z_1 = 3 \left(\cos \frac{3\pi}{4} - i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$, $z_2 = 1 + i.$

2. Найдите значение выражения $(1 + \sqrt{3}i)^5$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = \sqrt{3} - i$.

1)

Даны комплексные числа $z_1 = 4(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6})$ и $z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i\sin \frac{\pi}{3})$.

Сначала приведем число $z_2$ к стандартной тригонометрической форме, используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$):

$z_2 = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Таким образом, имеем: $r_1 = 4, \varphi_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $r_2 = 2, \varphi_2 = -\frac{\pi}{3}$.

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме находится по формуле: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.

$z_1 \cdot z_2 = 4 \cdot 2 (\cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3})) = 8 (\cos(\frac{5\pi - 2\pi}{6}) + i\sin(\frac{3\pi}{6})) = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, получаем:

$z_1 \cdot z_2 = 8(0 + i \cdot 1) = 8i$.

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме находится по формуле: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{4}{2} (\cos(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{3})) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{3}))) = 2 (\cos(\frac{5\pi + 2\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6})) = 2(\cos \frac{7\pi}{6} + i\sin \frac{7\pi}{6})$.

Так как $\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{z_1}{z_2} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} - i$.

Ответ: $z_1 \cdot z_2 = 8i$; $\frac{z_1}{z_2} = -\sqrt{3} - i$.

2)

Даны комплексные числа $z_1 = 3(\cos \frac{3\pi}{4} - i\sin \frac{3\pi}{4})$ и $z_2 = 1 + i$.

Приведем оба числа к стандартной тригонометрической форме $r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$.

Для $z_1$: $z_1 = 3(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$. Здесь модуль $r_1 = 3$, аргумент $\varphi_1 = -\frac{3\pi}{4}$.

Для $z_2 = 1 + i$: найдем модуль $r_2 = |z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Найдем аргумент $\varphi_2$: $\cos \varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\varphi_2 = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $z_2 = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$.

Найдем произведение:

$z_1 \cdot z_2 = 3 \cdot \sqrt{2} (\cos(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4})) = 3\sqrt{2}(\cos(-\frac{2\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = 3\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

$z_1 \cdot z_2 = 3\sqrt{2}(0 - i \cdot 1) = -3i\sqrt{2}$.

Найдем частное:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{\sqrt{2}} (\cos(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4})) = \frac{3\sqrt{2}}{2}(\cos(-\frac{4\pi}{4}) + i\sin(-\pi)) = \frac{3\sqrt{2}}{2}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z_1 \cdot z_2 = -3i\sqrt{2}$; $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2.

Для нахождения значения выражения $(1 + \sqrt{3}i)^5$ воспользуемся формулой Муавра: $[r(\cos \varphi + i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

Сначала представим комплексное число $z = 1 + \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.

Аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$.

Теперь возведем в 5-ю степень по формуле Муавра:

$z^5 = [2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})]^5 = 2^5 (\cos(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(5 \cdot \frac{\pi}{3})) = 32(\cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3})$.

Вычислим значения тригонометрических функций: $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения:

$z^5 = 32(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 16 - 16i\sqrt{3}$.

Ответ: $16 - 16i\sqrt{3}$.

3.

Требуется найти и изобразить на комплексной плоскости корни третьей степени из числа $z = \sqrt{3} - i$.

Формула для корней $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ имеет вид:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

Сначала представим число $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$.

Аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$. Это соответствует углу $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Находим корни третьей степени ($n=3$, $k=0, 1, 2$):

$w_k = \sqrt[3]{2} \left(\cos\left(\frac{-\pi/6 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi/6 + 2\pi k}{3}\right)\right)$.

При $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2} (\cos(-\frac{\pi}{18}) + i\sin(-\frac{\pi}{18}))$.

При $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2} (\cos(\frac{-\pi/6 + 2\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/6 + 2\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi}{18} + i\sin \frac{11\pi}{18})$.

При $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2} (\cos(\frac{-\pi/6 + 4\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/6 + 4\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{23\pi}{18} + i\sin \frac{23\pi}{18})$.

Изображение на комплексной плоскости:

Все три корня ($w_0, w_1, w_2$) лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$. Они являются вершинами правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Первый корень $w_0$ соответствует углу $-\frac{\pi}{18}$ (или $-10^\circ$), второй $w_1$ — углу $\frac{11\pi}{18}$ (или $110^\circ$), а третий $w_2$ — углу $\frac{23\pi}{18}$ (или $230^\circ$). Угловое расстояние между соседними корнями составляет $\frac{2\pi}{3}$ (или $120^\circ$).

Ответ: Корнями третьей степени являются числа $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{18}) + i\sin(-\frac{\pi}{18}))$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi}{18} + i\sin \frac{11\pi}{18})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{23\pi}{18} + i\sin \frac{23\pi}{18})$. На комплексной плоскости эти числа являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt[3]{2}$.