Номер 16, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Решение алгебраических уравнений

на множестве комплексных чисел

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 4z + 5 = 0$;

2) $z^2 - (3 - i)z + 4 = 0$;

3) $z^2 + 2z - 11 - 5i = 0$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 - 2z^2 + 25z - 50 = 0$;

2) $z^4 + 9i = 0$.

3. Корнями уравнения $x^3 - 5x^2 + 2x - 2 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $3x_1, 3x_2$ и $3x_3$.

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 4z + 5 = 0$
Это квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексно-сопряженными числами.
$\sqrt{D} = \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_{1,2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$.
Ответ: $z_1 = -2 + i$, $z_2 = -2 - i$.

2) $z^2 - (3 - i)z + 4 = 0$
Это квадратное уравнение с комплексными коэффициентами. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-(3 - i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (3 - i)^2 - 16$.
$(3 - i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$.
$D = (8 - 6i) - 16 = -8 - 6i$.
Теперь необходимо найти квадратный корень из дискриминанта. Пусть $\sqrt{-8 - 6i} = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$.
$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -8 - 6i$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = -6 \end{cases}$
Из второго уравнения $y = -3/x$. Подставляем в первое:
$x^2 - (-\frac{3}{x})^2 = -8 \Rightarrow x^2 - \frac{9}{x^2} = -8$.
$x^4 + 8x^2 - 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, $t \ge 0$.
$t^2 + 8t - 9 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -9$. Так как $t$ не может быть отрицательным, подходит только $t = 1$.
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Если $x = 1$, то $y = -3/1 = -3$.
Если $x = -1$, то $y = -3/(-1) = 3$.
Таким образом, $\sqrt{-8 - 6i} = \pm(1 - 3i)$.
Найдем корни уравнения $z$ по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_{1,2} = \frac{3 - i \pm (1 - 3i)}{2}$.
$z_1 = \frac{3 - i + 1 - 3i}{2} = \frac{4 - 4i}{2} = 2 - 2i$.
$z_2 = \frac{3 - i - (1 - 3i)}{2} = \frac{3 - i - 1 + 3i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$.
Ответ: $z_1 = 2 - 2i$, $z_2 = 1 + i$.

3) $z^2 + 2z - 11 - 5i = 0$
Выделим полный квадрат в левой части уравнения:
$(z^2 + 2z + 1) - 1 - 11 - 5i = 0$.
$(z + 1)^2 = 12 + 5i$.
Найдем $\sqrt{12 + 5i}$. Пусть $\sqrt{12 + 5i} = x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 12 + 5i$.
Получаем систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ 2xy = 5 \end{cases}$.
Из второго уравнения $y = \frac{5}{2x}$. Подставляем в первое:
$x^2 - (\frac{5}{2x})^2 = 12 \Rightarrow x^2 - \frac{25}{4x^2} = 12$.
$4x^4 - 48x^2 - 25 = 0$.
Пусть $t = x^2$, $t \ge 0$. Уравнение примет вид $4t^2 - 48t - 25 = 0$.
Дискриминант для $t$: $D_t = (-48)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 2304 + 400 = 2704 = 52^2$.
$t = \frac{48 \pm 52}{8}$. Корни $t_1 = \frac{100}{8} = \frac{25}{2}$ и $t_2 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Подходит $t = \frac{25}{2}$.
$x^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{5}{2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\sqrt{12 + 5i} = \pm(\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Возвращаемся к уравнению $(z + 1)^2 = 12 + 5i$:
$z + 1 = \pm(\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.
$z = -1 \pm (\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $z_1 = -1 + \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $z_2 = -1 - \frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 - 2z^2 + 25z - 50 = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(z^3 - 2z^2) + (25z - 50) = 0$.
$z^2(z - 2) + 25(z - 2) = 0$.
$(z^2 + 25)(z - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$z - 2 = 0 \Rightarrow z_1 = 2$.
$z^2 + 25 = 0 \Rightarrow z^2 = -25 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-25} = \pm 5i$.
Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = 5i$, $z_3 = -5i$.

2) $z^4 + 9i = 0$
Перепишем уравнение в виде $z^4 = -9i$.
Для решения найдем корни 4-й степени из комплексного числа $-9i$.
Представим $-9i$ в тригонометрической форме $r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
Модуль $r = |-9i| = 9$.
Аргумент $\theta = -\frac{\pi}{2}$.
$-9i = 9(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Корни $z_k$ находятся по формуле Муавра:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\theta+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.
В нашем случае $n=4, r=9, \theta = -\frac{\pi}{2}$.
$\sqrt[4]{r} = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$.
Аргументы корней: $\phi_k = \frac{-\pi/2 + 2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
Подставляя $k = 0, 1, 2, 3$, получаем четыре корня:
$k=0: z_0 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{\pi}{8}))$.
$k=1: z_1 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2})) = \sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8})$.
$k=2: z_2 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \pi) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \pi)) = \sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8})$.
$k=3: z_3 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2})) = \sqrt{3}(\cos\frac{11\pi}{8} + i\sin\frac{11\pi}{8})$.
Ответ: $z_k = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}))$ для $k=0, 1, 2, 3$.

3. Корнями уравнения $x^3 - 5x^2 + 2x - 2 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $3x_1, 3x_2$ и $3x_3$.

Пусть дано уравнение $P(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 2 = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$.
Мы ищем новое кубическое уравнение $Q(y)=0$, корнями которого являются $y_1=3x_1, y_2=3x_2, y_3=3x_3$.
Если $y$ - корень нового уравнения, то $y=3x$, где $x$ - корень исходного уравнения.
Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{3}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\frac{y}{3})^3 - 5(\frac{y}{3})^2 + 2(\frac{y}{3}) - 2 = 0$.
Раскроем скобки:
$\frac{y^3}{27} - \frac{5y^2}{9} + \frac{2y}{3} - 2 = 0$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 27:
$27 \cdot (\frac{y^3}{27}) - 27 \cdot (\frac{5y^2}{9}) + 27 \cdot (\frac{2y}{3}) - 27 \cdot 2 = 0$.
$y^3 - 3 \cdot 5y^2 + 9 \cdot 2y - 54 = 0$.
$y^3 - 15y^2 + 18y - 54 = 0$.
Это и есть искомое кубическое уравнение.
Ответ: $y^3 - 15y^2 + 18y - 54 = 0$.