Страница 41 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Показательные неравенства

Решите неравенство:

1) $$( \frac{2}{9} )^{x^2} \le ( \frac{9}{2} )^{5x-6};$$

2) $$3^{x+1} - 3^{x-1} + 3^x - 3 \le 219;$$

3) $$49^x + 0.5 + 6 \cdot 7^x - 1 \ge 0;$$

4) $$5 \cdot 0.2^{2x} - 26 \cdot 0.2^x + 5 \le 0;$$

5) $$\frac{0.064 - 0.4^x}{x - 8} \le 0;$$

6) $$(2^x - 8)\sqrt{6 - x} \le 0.$$

Самостоятельная работа № 4

Логарифм и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,5}\log_4 256$;

2) $\log_{14} 98 - \log_{14} 7$;

3) $\frac{\log_7 625}{\log_7 0,2}$;

4) $\log_{343} \sqrt[5]{7}$;

5) $32^{1 - \log_2 3}$;

6) $13^{\lg 13^3}$.

2. Решите уравнение:

1) $0,8^x = 9$;

2) $\log_{x - 4} 81 = 2$.

3. Найдите значение выражения:

$\frac{\log_6 500 - 2\log_6 2}{\log_6 0,8 + \log_6 0,25}$.

4. Постройте график функции:

1) $y = 7^{\log_7(x + 1)}$;

2) $y = \log_{x - 5}(x - 5)$.

5. Найдите $\log_{14} 2$, если $\log_{14} 49 = n$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,5}\log_{4}256$
Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_{4}256$. Поскольку $4^4 = 256$, то $\log_{4}256 = 4$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_{0,5}4$.
Пусть $\log_{0,5}4 = x$. По определению логарифма, $(0,5)^x = 4$.
Так как $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, а $4 = 2^2$, получаем:
$(2^{-1})^x = 2^2$
$2^{-x} = 2^2$
$-x = 2$, откуда $x = -2$.
Ответ: -2

2) $\log_{14}98 - \log_{14}7$
Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_b m - \log_b n = \log_b \frac{m}{n}$.
$\log_{14}98 - \log_{14}7 = \log_{14}\frac{98}{7} = \log_{14}14$.
Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1: $\log_b b = 1$.
Следовательно, $\log_{14}14 = 1$.
Ответ: 1

3) $\frac{\log_{7}625}{\log_{7}0,2}$
Используем формулу перехода к новому основанию: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.
$\frac{\log_{7}625}{\log_{7}0,2} = \log_{0,2}625$.
Представим $0,2$ как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $625$ как $5^4$.
$\log_{0,2}625 = \log_{5^{-1}}5^4$.
Используем свойство $\log_{b^k}a = \frac{1}{k}\log_b a$ или $\log_{b^k} a^m = \frac{m}{k}\log_b a$.
$\log_{5^{-1}}5^4 = \frac{4}{-1}\log_5 5 = -4 \cdot 1 = -4$.
Ответ: -4

4) $\log_{343}\sqrt[5]{7}$
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 7.
$343 = 7^3$
$\sqrt[5]{7} = 7^{1/5}$
Подставим эти значения в выражение: $\log_{7^3}7^{1/5}$.
Используем свойство $\log_{b^k} a^m = \frac{m}{k}\log_b a$.
$\log_{7^3}7^{1/5} = \frac{1/5}{3}\log_7 7 = \frac{1}{15} \cdot 1 = \frac{1}{15}$.
Ответ: $\frac{1}{15}$

5) $32^{1-\log_23}$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$32^{1-\log_23} = \frac{32^1}{32^{\log_23}}$.
Представим $32$ как $2^5$.
$\frac{32}{(2^5)^{\log_23}} = \frac{32}{2^{5\log_23}}$.
Используем свойство $k\log_b a = \log_b a^k$.
$\frac{32}{2^{\log_2 3^5}}$.
Используем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$.
$\frac{32}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Ответ: $\frac{32}{243}$

6) $13^{\frac{3}{\lg13}}$
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм ($\log_{10}$). Преобразуем показатель степени.
$\frac{3}{\lg13} = 3 \cdot \frac{1}{\log_{10}13}$.
Используем свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
$3 \cdot \frac{1}{\log_{10}13} = 3 \cdot \log_{13}10$.
Используем свойство $k\log_b a = \log_b a^k$.
$3 \log_{13}10 = \log_{13}10^3 = \log_{13}1000$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $13^{\log_{13}1000}$.
По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$, получаем:
$13^{\log_{13}1000} = 1000$.
Ответ: 1000

2. Решите уравнение:

1) $0,8^x = 9$
Это показательное уравнение. Для нахождения $x$ прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,8.
$\log_{0,8}(0,8^x) = \log_{0,8}9$.
По свойству $\log_b(b^x) = x$, получаем:
$x = \log_{0,8}9$.
Ответ: $\log_{0,8}9$

2) $\log_{x-4}81 = 2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.
1) $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$
2) $x - 4 \neq 1 \Rightarrow x \neq 5$
ОДЗ: $x \in (4, 5) \cup (5, \infty)$.
По определению логарифма ($\log_b a = c \iff b^c = a$):
$(x-4)^2 = 81$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:
$x - 4 = 9$ или $x - 4 = -9$.
Из первого уравнения: $x = 13$.
Из второго уравнения: $x = -5$.
Проверим корни по ОДЗ.
$x = 13$ удовлетворяет условиям $x>4$ и $x \neq 5$.
$x = -5$ не удовлетворяет условию $x>4$.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: 13

3. Найдите значение выражения:
$\frac{\log_6 500 - 2\log_6 2}{\log_6 0,8 + \log_6 0,25}$
Упростим числитель:
$\log_6 500 - 2\log_6 2 = \log_6 500 - \log_6(2^2) = \log_6 500 - \log_6 4 = \log_6\frac{500}{4} = \log_6 125$.
Упростим знаменатель:
$\log_6 0,8 + \log_6 0,25 = \log_6(0,8 \cdot 0,25) = \log_6(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4}) = \log_6\frac{1}{5}$.
Теперь подставим упрощенные части в дробь:
$\frac{\log_6 125}{\log_6 (1/5)}$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.
$\frac{\log_6 125}{\log_6 (1/5)} = \log_{1/5}125 = \log_{5^{-1}}5^3 = \frac{3}{-1}\log_5 5 = -3$.
Ответ: -3

4. Постройте график функции:

1) $y = 7^{\log_7(x+1)}$
Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим функцию:
$y = x + 1$.
Таким образом, график функции — это прямая $y = x + 1$ при условии $x > -1$.
Графиком является луч, выходящий из точки $(-1, 0)$, сама точка $(-1, 0)$ в график не входит (она "выколота"). Луч проходит через точку $(0, 1)$.
Ответ: Графиком является часть прямой $y=x+1$, расположенная правее прямой $x=-1$. Это луч с началом в "выколотой" точке $(-1, 0)$.

2) $y = \log_{x-5}(x-5)$
Найдем область определения функции. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
1) $x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5$
2) $x - 5 \neq 1 \Rightarrow x \neq 6$
Область определения: $x \in (5, 6) \cup (6, \infty)$.
Используя свойство $\log_b b = 1$, упростим функцию:
$y = 1$.
Таким образом, график функции — это прямая $y = 1$ при условии $x \in (5, 6) \cup (6, \infty)$.
Графиком является луч $y=1$ при $x > 5$ с "выколотой" точкой при $x=6$.
Ответ: Графиком является горизонтальный луч $y=1$, определенный для $x>5$, с "выколотой" точкой $(6, 1)$.

5. Найдите $\log_{14}2$, если $\log_{14}49 = n$.
Нам дано $\log_{14}49 = n$. Преобразуем это выражение:
$\log_{14}(7^2) = n$
$2\log_{14}7 = n$
$\log_{14}7 = \frac{n}{2}$.
Мы знаем, что $\log_{14}14 = 1$. Представим 14 как произведение 2 и 7:
$\log_{14}(2 \cdot 7) = 1$.
Используя свойство логарифма произведения, получаем:
$\log_{14}2 + \log_{14}7 = 1$.
Выразим искомое значение $\log_{14}2$:
$\log_{14}2 = 1 - \log_{14}7$.
Подставим найденное ранее значение $\log_{14}7 = \frac{n}{2}$:
$\log_{14}2 = 1 - \frac{n}{2}$.
Ответ: $1 - \frac{n}{2}$

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $log_{0,6}11$ и $log_{0,6}12$;

2) $log_6 200$ и $3$;

3) $log_{48}47$ и $log_{47}48$;

4) $log_{0,6}0,5$ и $log_{0,5}0,6$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = log_{0,7}(8 - 5x)$;

2) $y = log_{x - 5}(9 - x)$;

3) $y = log_{0,4}(8 - 7x - x^2) + \frac{1}{log_{0,4}(x + 5)}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = log_3 x - 2$;

2) $y = -log_4(x + 3)$;

3) $y = log_{\frac{1}{3}}|x|$.

4. Найдите наибольшее значение функции

$y = log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 8x + 25)$.

1. Сравните:

1) Функция $y = \log_{0,6}x$ является убывающей, так как ее основание $a = 0,6$ и $0 < 0,6 < 1$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $11 < 12$, то $\log_{0,6}11 > \log_{0,6}12$.
Ответ: $\log_{0,6}11 > \log_{0,6}12$.

2) Представим число 3 в виде логарифма с основанием 6: $3 = \log_6(6^3) = \log_6 216$. Теперь сравним $\log_6 200$ и $\log_6 216$. Функция $y = \log_6 x$ является возрастающей, так как ее основание $a=6$ и $6 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $200 < 216$, то $\log_6 200 < \log_6 216$. Следовательно, $\log_6 200 < 3$.
Ответ: $\log_6 200 < 3$.

3) Сравним каждое из чисел с 1.
Для $\log_{48}47$: основание $48 > 1$, функция возрастающая. Так как $47 < 48$, то $\log_{48}47 < \log_{48}48$, а значит $\log_{48}47 < 1$.
Для $\log_{47}48$: основание $47 > 1$, функция возрастающая. Так как $48 > 47$, то $\log_{47}48 > \log_{47}47$, а значит $\log_{47}48 > 1$.
Поскольку $\log_{48}47 < 1$ и $\log_{47}48 > 1$, то $\log_{48}47 < \log_{47}48$.
Ответ: $\log_{48}47 < \log_{47}48$.

4) Сравним каждое из чисел с 1.
Для $\log_{0,6}0,5$: основание $0,6 < 1$, функция убывающая. Так как $0,5 < 0,6$, то $\log_{0,6}0,5 > \log_{0,6}0,6$, а значит $\log_{0,6}0,5 > 1$.
Для $\log_{0,5}0,6$: основание $0,5 < 1$, функция убывающая. Так как $0,6 > 0,5$, то $\log_{0,5}0,6 < \log_{0,5}0,5$, а значит $\log_{0,5}0,6 < 1$.
Поскольку $\log_{0,6}0,5 > 1$ и $\log_{0,5}0,6 < 1$, то $\log_{0,6}0,5 > \log_{0,5}0,6$.
Ответ: $\log_{0,6}0,5 > \log_{0,5}0,6$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,7}(8 - 5x)$
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$8 - 5x > 0$
$-5x > -8$
$x < \frac{8}{5}$
$x < 1,6$
Область определения: $(-\infty; 1,6)$.
Ответ: $(-\infty; 1,6)$.

2) $y = \log_{x-5}(9 - x)$
Область определения логарифмической функции задается системой условий:
1. Аргумент больше нуля: $9 - x > 0 \implies x < 9$.
2. Основание больше нуля: $x - 5 > 0 \implies x > 5$.
3. Основание не равно единице: $x - 5 \neq 1 \implies x \neq 6$.
Объединяя все условия, получаем: $x \in (5; 9)$ и $x \neq 6$.
Область определения: $(5; 6) \cup (6; 9)$.
Ответ: $(5; 6) \cup (6; 9)$.

3) $y = \log_{0,4}(8 - 7x - x^2) + \frac{1}{\log_{0,4}(x + 5)}$
Область определения задается системой условий:
1. Аргумент первого логарифма больше нуля: $8 - 7x - x^2 > 0$. Умножим на -1: $x^2 + 7x - 8 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -8, x_2 = 1$. Это парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-8; 1)$.
2. Аргумент второго логарифма больше нуля: $x + 5 > 0 \implies x > -5$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{0,4}(x + 5) \neq 0$. Это означает, что $x + 5 \neq 1 \implies x \neq -4$.
Найдем пересечение всех условий: $x \in (-8; 1)$, $x > -5$, $x \neq -4$.
Пересечение $x \in (-8; 1)$ и $x > -5$ дает интервал $(-5; 1)$. Исключаем из него точку $x = -4$.
Область определения: $(-5; -4) \cup (-4; 1)$.
Ответ: $(-5; -4) \cup (-4; 1)$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_3 x - 2$
График этой функции получается из графика функции $y = \log_3 x$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.
Базовый график $y = \log_3 x$ проходит через точки $(1; 0), (3; 1), (9; 2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Следовательно, график $y = \log_3 x - 2$ проходит через точки $(1; -2), (3; -1), (9; 0)$ и также имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Ответ: График функции $y = \log_3 x - 2$ — это график $y = \log_3 x$, сдвинутый на 2 единицы вниз.

2) $y = -\log_4(x + 3)$
График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ двумя преобразованиями:
1. Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график $y = \log_4(x + 3)$. Вертикальная асимптота сдвигается в $x=-3$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox. Получаем график $y = -\log_4(x + 3)$.
Базовый график $y = \log_4 x$ проходит через $(1; 0), (4; 1)$. График $y = -\log_4(x + 3)$ будет проходить через точки $(-2; 0), (1; -1)$ и иметь асимптоту $x=-3$.
Ответ: График функции $y = -\log_4(x + 3)$ — это график $y = \log_4 x$, сдвинутый на 3 единицы влево и отраженный относительно оси Ox.

3) $y = \log_{\frac{1}{3}}|x|$
Так как функция является четной ($y(-x) = y(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy.
1. Строим график для $x > 0$: $y = \log_{\frac{1}{3}}x$. Это убывающая логарифмическая функция, проходящая через точки $(1; 0), (\frac{1}{3}; 1), (3; -1)$. Вертикальная асимптота $x=0$.
2. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.
Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Правая ветвь — это график $y = \log_{\frac{1}{3}}x$, левая — его зеркальное отражение.

4. Найдите наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 8x + 25)$.

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}}t$ является убывающей, так как ее основание $a = \frac{1}{3}$ и $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает при наименьшем значении ее аргумента.
Найдем наименьшее значение выражения $t(x) = x^2 - 8x + 25$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.
Координата вершины по оси Ox:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
Наименьшее значение аргумента:
$t_{min} = t(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 25 = 16 - 32 + 25 = 9$.
Теперь найдем наибольшее значение исходной функции, подставив в нее минимальное значение аргумента:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{3}}9$.
Пусть $\log_{\frac{1}{3}}9 = z$. Тогда $(\frac{1}{3})^z = 9$, или $(3^{-1})^z = 3^2$, или $3^{-z} = 3^2$. Отсюда $-z = 2$, то есть $z = -2$.
Наибольшее значение функции равно -2.
Ответ: -2.