Страница 48 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Условная вероятность

1. Известно, что $P_A(B)=0,3$, $P_B(A)=0,27$ и $P(A \cap B)=0,09$.

Найдите:

1) $P(A)$;

2) $P(B)$;

3) $P(A \cup B)$.

2. Из коробки, в которой лежат 19 красных и 14 синих шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был красным. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется синим. Составьте дендрограмму этого опыта.

3. Среди слушателей курсов иностранных языков есть те, кто изучает английский и немецкий языки. Вероятность того, что наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык, равна 50%, а немецкий — 30%. Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих немецкий составляет 20%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий немецкий язык, также изучает английский.

1) P(A)

По определению условной вероятности $P_A(B)$, которая также обозначается как $P(B|A)$, имеем формулу:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Из условия нам известно, что $P_A(B) = 0,3$ и $P(A \cap B) = 0,09$. Подставим эти значения в формулу:
$0,3 = \frac{0,09}{P(A)}$
Отсюда выражаем $P(A)$:
$P(A) = \frac{0,09}{0,3} = 0,3$.
Ответ: $P(A) = 0,3$.

2) P(B)

Аналогично, используем определение условной вероятности $P_B(A) = P(A|B)$:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Из условия нам известно, что $P_B(A) = 0,27$ и $P(A \cap B) = 0,09$. Подставим значения:
$0,27 = \frac{0,09}{P(B)}$
Выражаем $P(B)$:
$P(B) = \frac{0,09}{0,27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $P(B) = \frac{1}{3}$.

3) P(A ∪ B)

Вероятность объединения двух событий $A$ и $B$ вычисляется по формуле сложения вероятностей:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Мы уже нашли $P(A) = 0,3$ и $P(B) = \frac{1}{3}$, а $P(A \cap B) = 0,09$ дано в условии. Подставим все значения в формулу:
$P(A \cup B) = 0,3 + \frac{1}{3} - 0,09 = \frac{3}{10} + \frac{1}{3} - \frac{9}{100}$
Приведем дроби к общему знаменателю 300:
$P(A \cup B) = \frac{3 \cdot 30}{300} + \frac{1 \cdot 100}{300} - \frac{9 \cdot 3}{300} = \frac{90 + 100 - 27}{300} = \frac{163}{300}$.
Ответ: $P(A \cup B) = \frac{163}{300}$.

2.

Пусть событие $К_1$ — «первый взятый шар красный», а событие $С_2$ — «второй взятый шар синий».
Изначально в коробке находится $19 + 14 = 33$ шара.
По условию, первый шар был красным. Это означает, что событие $К_1$ уже произошло. После этого в коробке осталось $33 - 1 = 32$ шара.
Количество красных шаров стало $19 - 1 = 18$.
Количество синих шаров осталось прежним — $14$.
Требуется вычислить условную вероятность того, что второй шар будет синим, при условии что первый был красным, то есть $P(С_2|К_1)$.
Эта вероятность равна отношению количества синих шаров к новому общему числу шаров в коробке:
$P(С_2|К_1) = \frac{\text{число синих шаров}}{\text{общее оставшееся число шаров}} = \frac{14}{32} = \frac{7}{16}$.

Дендрограмма (дерево вероятностей) для этого опыта:

• Первый шаг (извлечение первого шара):
  • Вероятность вынуть красный шар ($К_1$): $P(К_1) = \frac{19}{33}$
  • Вероятность вынуть синий шар ($С_1$): $P(С_1) = \frac{14}{33}$
• Второй шаг (извлечение второго шара):
  • Если первый шар был красным (произошло $К_1$), то в коробке 18 красных и 14 синих (всего 32):
    • Вероятность вынуть второй красный ($К_2$): $P(К_2|К_1) = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$
    • Вероятность вынуть второй синий ($С_2$): $P(С_2|К_1) = \frac{14}{32} = \frac{7}{16}$
  • Если первый шар был синим (произошло $С_1$), то в коробке 19 красных и 13 синих (всего 32):
    • Вероятность вынуть второй красный ($К_2$): $P(К_2|С_1) = \frac{19}{32}$
    • Вероятность вынуть второй синий ($С_2$): $P(С_2|С_1) = \frac{13}{32}$

Ответ: Вероятность того, что второй шар окажется синим, равна $\frac{7}{16}$.

3.

Введем обозначения для событий:
$А$ – «наугад выбранный слушатель изучает английский язык».
$Н$ – «наугад выбранный слушатель изучает немецкий язык».

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:
$P(А) = 50\% = 0,5$.
$P(Н) = 30\% = 0,3$.
«Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих немецкий составляет 20%» — это условная вероятность $P(Н|А) = 20\% = 0,2$.

Нам нужно найти вероятность того, что слушатель, изучающий немецкий язык, также изучает английский. Это обратная условная вероятность $P(А|Н)$.
Для ее вычисления воспользуемся формулой условной вероятности: $P(А|Н) = \frac{P(А \cap Н)}{P(Н)}$.
Сначала найдем вероятность пересечения событий $P(А \cap Н)$ (слушатель изучает оба языка) из формулы для $P(Н|А)$:
$P(Н|А) = \frac{P(А \cap Н)}{P(А)}$
$0,2 = \frac{P(А \cap Н)}{0,5}$
$P(А \cap Н) = 0,2 \times 0,5 = 0,1$.
Теперь мы можем найти искомую вероятность $P(А|Н)$:
$P(А|Н) = \frac{P(А \cap Н)}{P(Н)} = \frac{0,1}{0,3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Самостоятельная работа № 20

Независимые события

1. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка ни разу не выпадет?

2. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет $0.9$, второго — $0.6$, третьего — $0.5$. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) ровно два попадания?

3. Восемь стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна $0.6$. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

Вероятность выпадения шестёрки при одном броске игрального кубика составляет $\frac{1}{6}$. Следовательно, вероятность того, что шестёрка не выпадет, равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что шестёрка не выпадет ни разу за три броска, равна произведению вероятностей этого события для каждого броска:
$P(\text{нет шестёрки}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$.

Ответ: $\frac{125}{216}$.

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка как $P_1, P_2, P_3$ и вероятности промаха как $Q_1, Q_2, Q_3$.
Из условия задачи имеем:
$P_1 = 0,9$, следовательно, вероятность промаха $Q_1 = 1 - 0,9 = 0,1$.
$P_2 = 0,6$, следовательно, вероятность промаха $Q_2 = 1 - 0,6 = 0,4$.
$P_3 = 0,5$, следовательно, вероятность промаха $Q_3 = 1 - 0,5 = 0,5$.
Выстрелы являются независимыми событиями.

Вероятность того, что все три стрелка промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:
$P(\text{3 промаха}) = Q_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,1 \times 0,4 \times 0,5 = 0,02$.

Ответ: 0,02.

Событие "ровно два попадания" состоит из трёх несовместных исходов:
1. Попали 1-й и 2-й, 3-й промахнулся. Вероятность: $P_1 \times P_2 \times Q_3 = 0,9 \times 0,6 \times 0,5 = 0,27$.
2. Попали 1-й и 3-й, 2-й промахнулся. Вероятность: $P_1 \times Q_2 \times P_3 = 0,9 \times 0,4 \times 0,5 = 0,18$.
3. Попали 2-й и 3-й, 1-й промахнулся. Вероятность: $Q_1 \times P_2 \times P_3 = 0,1 \times 0,6 \times 0,5 = 0,03$.
Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трёх исходов:
$P(\text{2 попадания}) = 0,27 + 0,18 + 0,03 = 0,48$.

Ответ: 0,48.

Вероятность поражения цели означает, что попадёт хотя бы один из восьми стрелков. Проще найти вероятность противоположного события — что цель не будет поражена, то есть все восемь стрелков промахнутся.
Вероятность попадания для одного стрелка равна $p = 0,6$.
Следовательно, вероятность промаха для одного стрелка равна $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.
Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все восемь стрелков промахнутся, равна произведению их вероятностей промаха:
$P(\text{все промахнулись}) = q^8 = (0,4)^8 = 0,00065536$.
Вероятность поражения цели (хотя бы одно попадание) является противоположным событием к "все промахнулись", поэтому её можно найти, вычтя вероятность промаха всех стрелков из единицы:
$P(\text{поражение цели}) = 1 - P(\text{все промахнулись}) = 1 - (0,4)^8 = 1 - 0,00065536 = 0,99934464$.

Ответ: 0,99934464.