Страница 55 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. На координатной плоскости отметили начало координат $O(0; 0)$ и точку $A(-3; 7)$. Задайте в алгебраической форме комплексное число, равное вектору $\vec{OA}$. Найдите модуль этого комплексного числа.

Координаты вектора $\overrightarrow{OA}$ равны разности координат его конца (точки A) и начала (точки O). Начало координат $O$ имеет координаты $(0; 0)$, а точка $A$ имеет координаты $(-3; 7)$.

Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{OA}$ равны $(-3 - 0; 7 - 0) = (-3; 7)$.

Комплексное число, соответствующее вектору с координатами $(a; b)$, в алгебраической форме записывается как $z = a + bi$. Для вектора $\overrightarrow{OA}$ с координатами $(-3; 7)$ соответствующее комплексное число $z$ равно:

$z = -3 + 7i$

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ находится по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Модуль найденного комплексного числа $z = -3 + 7i$ (где $a = -3$, $b = 7$) равен:

$|z| = \sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$

Ответ: комплексное число в алгебраической форме: $z = -3 + 7i$; модуль этого комплексного числа: $\sqrt{58}$.

2. Дано: $z_1 = 8 + 2i$, $z_2 = 3 - 4i$. Вычислите:

1) $3z_1 - \overline{z_2};$

2) $z_1 z_2;$

3) $\frac{z_1}{z_2}$.

1) $3z_1 - \overline{z_2}$

Даны комплексные числа $z_1 = 8 + 2i$ и $z_2 = 3 - 4i$.
Сначала умножим число $z_1$ на 3:
$3z_1 = 3(8 + 2i) = 3 \cdot 8 + 3 \cdot 2i = 24 + 6i$.
Затем найдем число, комплексно-сопряженное к $z_2$. Для комплексного числа $z = a + bi$ сопряженным является $\overline{z} = a - bi$.
Следовательно, для $z_2 = 3 - 4i$, сопряженное число $\overline{z_2} = 3 + 4i$.
Теперь выполним вычитание:
$3z_1 - \overline{z_2} = (24 + 6i) - (3 + 4i) = 24 + 6i - 3 - 4i$.
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(24 - 3) + (6i - 4i) = 21 + 2i$.
Ответ: $21 + 2i$.

2) $z_1 z_2$

Для вычисления произведения двух комплексных чисел $z_1 = 8 + 2i$ и $z_2 = 3 - 4i$ перемножим их как двучлены, используя правило $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ и учитывая, что $i^2 = -1$:
$z_1 z_2 = (8 + 2i)(3 - 4i) = 8 \cdot 3 + 8 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i)$
$= 24 - 32i + 6i - 8i^2$
Подставим $i^2 = -1$:
$= 24 - 32i + 6i - 8(-1) = 24 - 32i + 6i + 8$.
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$= (24 + 8) + (-32 + 6)i = 32 - 26i$.
Ответ: $32 - 26i$.

3) $\frac{z_1}{z_2}$

Для вычисления частного двух комплексных чисел $\frac{z_1}{z_2} = \frac{8 + 2i}{3 - 4i}$ необходимо умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $z_2 = 3 - 4i$ есть $\overline{z_2} = 3 + 4i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{8 + 2i}{3 - 4i} = \frac{(8 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)}$.
Вычислим числитель:
$(8 + 2i)(3 + 4i) = 8 \cdot 3 + 8 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i = 24 + 32i + 6i + 8i^2 = 24 + 38i + 8(-1) = (24 - 8) + 38i = 16 + 38i$.
Вычислим знаменатель, используя формулу $(a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2$:
$(3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Теперь запишем результат деления:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{16 + 38i}{25}$.
Представим частное в алгебраической форме $a + bi$:
$\frac{16}{25} + \frac{38}{25}i$.
Ответ: $\frac{16}{25} + \frac{38}{25}i$.

3. Найдите значение выражения $z^6$, если

$z = - \left(\cos \left(-\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin \frac{5\pi}{24}\right)$

Для нахождения значения выражения $z^6$ необходимо сначала преобразовать комплексное число $z$ к тригонометрической форме, а затем воспользоваться формулой Муавра.

Дано комплексное число:$z = -\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)$.

Используем свойство четности функции косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$.$z = -\left(\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)$.

Теперь возведем выражение в шестую степень:$z^6 = \left[-\left(\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)\right]^6$.

Поскольку $(-1)^6 = 1$, выражение упрощается:$z^6 = \left(\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)^6$.

Теперь применим формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень, которая гласит:$[r(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$. В данном случае модуль $r = 1$, аргумент $\phi = \frac{5\pi}{24}$ и степень $n=6$.

$z^6 = \cos\left(6 \cdot \frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(6 \cdot \frac{5\pi}{24}\right)$.

Упростим аргумент:$6 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{30\pi}{24} = \frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, выражение для $z^6$ принимает вид:$z^6 = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)$.

Вычислим значения косинуса и синуса:$\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.$\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляя эти значения, получаем окончательный результат:$z^6 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z^6 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Решите уравнение $z^2 + z + 10 = 0$ на множестве комплексных чисел.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты равны $a=1$, $b=1$, $c=10$. Для нахождения корней воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений.

Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 1 - 40 = -39$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексно-сопряженных корня.

Найдем корень из дискриминанта в множестве комплексных чисел:

$\sqrt{D} = \sqrt{-39} = \sqrt{39 \cdot (-1)} = \sqrt{39} \cdot \sqrt{-1} = i\sqrt{39}$, где $i$ — мнимая единица.

Теперь найдем корни уравнения $z_{1,2}$ по формуле:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm i\sqrt{39}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm i\sqrt{39}}{2}$.

Таким образом, получаем два комплексных корня:

$z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{39}}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{39}}{2}i$

$z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{39}}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{39}}{2}i$

Ответ: $z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{39}}{2}i, z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{39}}{2}i$.

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $|2 + z - i| = |z - 2|$.

Для нахождения и изображения на комплексной плоскости множества чисел $z$, удовлетворяющих условию $|2 + z - i| = |z - 2|$, можно использовать алгебраический или геометрический подход.

1. Алгебраический способ

Представим комплексное число $z$ в виде $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа, соответствующие осям Re(z) и Im(z) на комплексной плоскости. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$|2 + (x + yi) - i| = |(x + yi) - 2|$

Сгруппируем действительные и мнимые части в выражениях под знаком модуля:
$|(x + 2) + (y - 1)i| = |(x - 2) + yi|$

По определению, модуль комплексного числа $|a + bi|$ равен $\sqrt{a^2 + b^2}$. Применим это определение к обеим частям нашего равенства:
$\sqrt{(x + 2)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + y^2$

Раскроем скобки:
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 4x + 4 + y^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($x^2$, $y^2$, $4$) в обеих частях уравнения:
$4x - 2y + 1 = -4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить окончательное уравнение:
$8x - 2y + 1 = 0$

Это линейное уравнение, которое на декартовой плоскости (и, соответственно, на комплексной плоскости) задает прямую. Его можно также записать в виде $y = 4x + \frac{1}{2}$.

2. Геометрический способ

Выражение $|z - z_1|$ геометрически означает расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_1$. Преобразуем исходное уравнение к этому виду:
$|z + 2 - i| = |z - 2|$
$|z - (-2 + i)| = |z - 2|$

Это равенство означает, что искомые точки $z$ находятся на одинаковом расстоянии от двух фиксированных точек на комплексной плоскости: $z_1 = -2 + i$ (координаты $(-2, 1)$) и $z_2 = 2$ (координаты $(2, 0)$).

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Таким образом, множество всех чисел $z$, удовлетворяющих условию, — это прямая, перпендикулярная отрезку между точками $(-2, 1)$ и $(2, 0)$ и проходящая через его середину.

Изображение на комплексной плоскости

Искомое множество — это прямая, заданная уравнением $y = 4x + \frac{1}{2}$. Для ее построения на комплексной плоскости, где горизонтальная ось — действительная (Re), а вертикальная — мнимая (Im), найдем две точки:

• Пересечение с мнимой осью (Im): полагаем $x = 0$, получаем $y = \frac{1}{2}$. Точка $(0, \frac{1}{2})$.
• Пересечение с действительной осью (Re): полагаем $y = 0$, получаем $8x + 1 = 0$, откуда $x = -\frac{1}{8}$. Точка $(-\frac{1}{8}, 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, получим графическое представление множества искомых чисел $z$.

Ответ: Множество всех чисел $z$, удовлетворяющих данному условию, представляет собой прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $8x - 2y + 1 = 0$ (или $y = 4x + \frac{1}{2}$), где $z = x + yi$. Геометрически это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $z_1 = -2 + i$ и $z_2 = 2$.

6. Изобразите на комплексной плоскости все числа, являющиеся корнями четвёртой степени из числа $z = -8 - 8\sqrt{3}i$.

Для того чтобы найти и изобразить на комплексной плоскости все корни четвертой степени из числа $z = -8 - 8\sqrt{3}i$, необходимо сначала представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$.

Сначала найдем модуль $r$ и аргумент $\phi$ числа $z$.
Модуль вычисляется по формуле: $|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a = -8$ и $b = -8\sqrt{3}$.
$r = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{256} = 16$.

Аргумент $\phi$ находим из соотношений $\cos\phi = \frac{a}{r}$ и $\sin\phi = \frac{b}{r}$.
$\cos\phi = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$
$\sin\phi = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как и синус, и косинус отрицательны, угол $\phi$ находится в третьей четверти. Соответствующее значение угла: $\phi = \frac{4\pi}{3}$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$ имеет вид:
$z = 16\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$.

Корни четвертой степени ($n=4$) из числа $z$ находятся по формуле Муавра:
$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, 2, 3$.
Подставляя наши значения, получаем:
$w_k = \sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\frac{4\pi}{3} + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\frac{4\pi}{3} + 2\pi k}{4}\right) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)$.

Теперь вычислим каждый из четырех корней, подставляя значения $k$ от 0 до 3:

• При $k=0$: $w_0 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$.
• При $k=1$: $w_1 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i$.
• При $k=2$: $w_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right)\right) = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 - i\sqrt{3}$.
• При $k=3$: $w_3 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} - i$.

Изобразим найденные корни на комплексной плоскости. Все они лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[4]{16} = 2$. Они являются вершинами правильного четырехугольника (квадрата).

Ответ: Корнями четвертой степени из числа $z = -8 - 8\sqrt{3}i$ являются четыре числа: $w_0 = 1 + i\sqrt{3}$, $w_1 = -\sqrt{3} + i$, $w_2 = -1 - i\sqrt{3}$ и $w_3 = \sqrt{3} - i$. На комплексной плоскости эти числа расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в начале координат.