Номер 3, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Найдите значение выражения $z^6$, если

$z = - \left(\cos \left(-\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin \frac{5\pi}{24}\right)$

Для нахождения значения выражения $z^6$ необходимо сначала преобразовать комплексное число $z$ к тригонометрической форме, а затем воспользоваться формулой Муавра.

Дано комплексное число:$z = -\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)$.

Используем свойство четности функции косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$.$z = -\left(\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)$.

Теперь возведем выражение в шестую степень:$z^6 = \left[-\left(\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)\right]^6$.

Поскольку $(-1)^6 = 1$, выражение упрощается:$z^6 = \left(\cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right)\right)^6$.

Теперь применим формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень, которая гласит:$[r(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$. В данном случае модуль $r = 1$, аргумент $\phi = \frac{5\pi}{24}$ и степень $n=6$.

$z^6 = \cos\left(6 \cdot \frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(6 \cdot \frac{5\pi}{24}\right)$.

Упростим аргумент:$6 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{30\pi}{24} = \frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, выражение для $z^6$ принимает вид:$z^6 = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)$.

Вычислим значения косинуса и синуса:$\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.$\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляя эти значения, получаем окончательный результат:$z^6 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z^6 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.