Номер 6, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Для функции $f(x) = \begin{cases} 4x, & x < 0, \\ \sin x, & x \ge 0 \end{cases}$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $A\left(\frac{\pi}{2}; 1\right).$

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ — это такая функция, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Важным свойством первообразной является её непрерывность на всей области определения.

Заданная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 4x, & x < 0 \\ \sin x, & x \ge 0 \end{cases}$

Для нахождения первообразной $F(x)$ необходимо проинтегрировать каждую часть функции $f(x)$ по отдельности.

1. При $x < 0$, имеем $f(x) = 4x$.
Находим интеграл: $\int 4x \,dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 2x^2 + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная.

2. При $x \ge 0$, имеем $f(x) = \sin x$.
Находим интеграл: $\int \sin x \,dx = -\cos x + C_2$, где $C_2$ — произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной $F(x)$ для данной функции: $F(x) = \begin{cases} 2x^2 + C_1, & x < 0 \\ -\cos x + C_2, & x \ge 0 \end{cases}$

Из условия задачи известно, что график первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{2}; 1)$. Это означает, что $F(\frac{\pi}{2}) = 1$. Так как значение аргумента $\frac{\pi}{2} \ge 0$, используем второе выражение для $F(x)$: $F(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C_2 = 1$. Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем: $-0 + C_2 = 1$, откуда $C_2 = 1$.

Теперь первообразная принимает вид: $F(x) = \begin{cases} 2x^2 + C_1, & x < 0 \\ -\cos x + 1, & x \ge 0 \end{cases}$

Для того чтобы $F(x)$ была первообразной на всей числовой оси, она должна быть непрерывной. Непрерывность нужно обеспечить в точке "стыковки" $x=0$. Для этого предел функции слева от $x=0$ должен быть равен значению функции в точке $x=0$ (которое также равно пределу справа). $\lim_{x \to 0^-} F(x) = F(0)$.

Вычислим предел слева: $\lim_{x \to 0^-} (2x^2 + C_1) = 2(0)^2 + C_1 = C_1$.

Вычислим значение функции в точке $x=0$: $F(0) = -\cos(0) + 1 = -1 + 1 = 0$.

Приравнивая эти два значения, находим $C_1$: $C_1 = 0$.

Подставив найденные значения $C_1 = 0$ и $C_2 = 1$ в общее выражение для $F(x)$, получаем искомую первообразную.

Ответ: $F(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 1 - \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$