Номер 4, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^4$ и $y = x$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением фигуры вокруг оси абсцисс, необходимо использовать метод дисков (или шайб). Фигура ограничена графиками функций $y = x^4$ и $y = x$.

Сначала найдем точки пересечения этих двух графиков, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем выражения для $y$:
$x^4 = x$
$x^4 - x = 0$
$x(x^3 - 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования, от $a = 0$ до $b = 1$.

На интервале $(0, 1)$ график функции $y = x$ лежит выше графика функции $y = x^4$. Например, при $x = 0.5$, имеем $y = 0.5$ и $y = (0.5)^4 = 0.0625$, где $0.5 > 0.0625$.

Объём тела вращения находится как разность объёмов двух тел: тела, образованного вращением криволинейной трапеции под графиком $y = x$, и тела, образованного вращением криволинейной трапеции под графиком $y = x^4$. Формула для объёма тела вращения (метод шайб):
$V = \pi \int_a^b (R(x)^2 - r(x)^2)dx$
где $R(x)$ — внешний радиус (график верхней функции), а $r(x)$ — внутренний радиус (график нижней функции). В нашем случае $R(x) = x$ и $r(x) = x^4$.

Подставляем наши функции и пределы интегрирования в формулу:
$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^4)^2)dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^8)dx$

Теперь вычислим этот определённый интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^9}{9} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^3}{3} - \frac{1^9}{9}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^9}{9}) \right)$
$V = \pi \left( (\frac{1}{3} - \frac{1}{9}) - 0 \right)$
$V = \pi \left( \frac{3}{9} - \frac{1}{9} \right)$
$V = \pi \frac{2}{9} = \frac{2\pi}{9}$

Таким образом, объём тела, образованного вращением, равен $\frac{2\pi}{9}$ кубических единиц.

Ответ: $V = \frac{2\pi}{9}$