Номер 5, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Решите уравнение:

1) $1 + 2\log_x 5 = \log_5 x;$

2) $2\log_7(x - 2) = \log_7(x - 10)^2 - 2.$

1) $1 + 2\log_x 5 = \log_5 x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля и не равно единице ($x > 0$, $x \neq 1$), а подлогарифмическое выражение $x$ в правой части должно быть больше нуля ($x > 0$).
Таким образом, ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Для решения уравнения приведем логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Применим ее к члену $2\log_x 5$:
$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$1 + 2 \cdot \frac{1}{\log_5 x} = \log_5 x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Так как $x \neq 1$, то $\log_5 x \neq \log_5 1$, следовательно, $t \neq 0$.
Уравнение с новой переменной:
$1 + \frac{2}{t} = t$

Умножим обе части уравнения на $t$ (что возможно, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$t + 2 = t^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение корней равно -2. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Или через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
$t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Выполним обратную замену:
1. Если $t = 2$, то $\log_5 x = 2$. По определению логарифма, $x = 5^2 = 25$.
2. Если $t = -1$, то $\log_5 x = -1$. По определению логарифма, $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).
$x = 25$: $25 > 0$ и $25 \neq 1$. Корень подходит.
$x = \frac{1}{5}$: $\frac{1}{5} > 0$ и $\frac{1}{5} \neq 1$. Корень подходит.
Ответ: $25; \frac{1}{5}$.

2) $2\log_7(x - 2) = \log_7(x - 10)^2 - 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
1. $x - 2 > 0 \implies x > 2$
2. $(x - 10)^2 > 0 \implies x - 10 \neq 0 \implies x \neq 10$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (2, 10) \cup (10, \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов.
Используем свойство $n \log_b a = \log_b a^n$ для левой части:
$\log_7 (x - 2)^2 = \log_7(x - 10)^2 - 2$
Представим число 2 как логарифм по основанию 7: $2 = 2 \cdot 1 = 2 \log_7 7 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.
$\log_7 (x - 2)^2 = \log_7(x - 10)^2 - \log_7 49$

Применим свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$ для правой части:
$\log_7 (x - 2)^2 = \log_7 \frac{(x - 10)^2}{49}$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(x - 2)^2 = \frac{(x - 10)^2}{49}$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на 49:
$49(x - 2)^2 = (x - 10)^2$
Это уравнение вида $a^2 = b^2$, которое равносильно $a=b$ или $a=-b$.
1. $7(x - 2) = x - 10$
$7x - 14 = x - 10$
$6x = 4$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
2. $7(x - 2) = -(x - 10)$
$7x - 14 = -x + 10$
$8x = 24$
$x = 3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 2, x \neq 10$).
Корень $x = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию $x > 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 2$ и $3 \neq 10$).
Ответ: $3$.