Номер 2, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Дано: $z_1 = 8 + 2i$, $z_2 = 3 - 4i$. Вычислите:

1) $3z_1 - \overline{z_2};$

2) $z_1 z_2;$

3) $\frac{z_1}{z_2}$.

1) $3z_1 - \overline{z_2}$

Даны комплексные числа $z_1 = 8 + 2i$ и $z_2 = 3 - 4i$.
Сначала умножим число $z_1$ на 3:
$3z_1 = 3(8 + 2i) = 3 \cdot 8 + 3 \cdot 2i = 24 + 6i$.
Затем найдем число, комплексно-сопряженное к $z_2$. Для комплексного числа $z = a + bi$ сопряженным является $\overline{z} = a - bi$.
Следовательно, для $z_2 = 3 - 4i$, сопряженное число $\overline{z_2} = 3 + 4i$.
Теперь выполним вычитание:
$3z_1 - \overline{z_2} = (24 + 6i) - (3 + 4i) = 24 + 6i - 3 - 4i$.
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(24 - 3) + (6i - 4i) = 21 + 2i$.
Ответ: $21 + 2i$.

2) $z_1 z_2$

Для вычисления произведения двух комплексных чисел $z_1 = 8 + 2i$ и $z_2 = 3 - 4i$ перемножим их как двучлены, используя правило $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ и учитывая, что $i^2 = -1$:
$z_1 z_2 = (8 + 2i)(3 - 4i) = 8 \cdot 3 + 8 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i)$
$= 24 - 32i + 6i - 8i^2$
Подставим $i^2 = -1$:
$= 24 - 32i + 6i - 8(-1) = 24 - 32i + 6i + 8$.
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$= (24 + 8) + (-32 + 6)i = 32 - 26i$.
Ответ: $32 - 26i$.

3) $\frac{z_1}{z_2}$

Для вычисления частного двух комплексных чисел $\frac{z_1}{z_2} = \frac{8 + 2i}{3 - 4i}$ необходимо умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $z_2 = 3 - 4i$ есть $\overline{z_2} = 3 + 4i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{8 + 2i}{3 - 4i} = \frac{(8 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)}$.
Вычислим числитель:
$(8 + 2i)(3 + 4i) = 8 \cdot 3 + 8 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i = 24 + 32i + 6i + 8i^2 = 24 + 38i + 8(-1) = (24 - 8) + 38i = 16 + 38i$.
Вычислим знаменатель, используя формулу $(a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2$:
$(3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Теперь запишем результат деления:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{16 + 38i}{25}$.
Представим частное в алгебраической форме $a + bi$:
$\frac{16}{25} + \frac{38}{25}i$.
Ответ: $\frac{16}{25} + \frac{38}{25}i$.