Страница 56 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. О событиях A и B некоторого испытания известно, что $P(A)=\frac{1}{4}$, $P(B)=\frac{2}{3}$ и $P(A \cup B)=\frac{5}{8}$. Найдите $P(A \cap B)$.

Для нахождения вероятности пересечения событий $P(A \cap B)$ используется формула сложения вероятностей для двух произвольных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Из этой формулы можно выразить искомую величину $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

В условии задачи даны следующие значения:

• $P(A) = \frac{1}{4}$
• $P(B) = \frac{2}{3}$
• $P(A \cup B) = \frac{5}{8}$

Подставим эти значения в формулу:

$P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{5}{8}$

Для выполнения вычислений приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4, 3 и 8 равно 24.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$

$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}$

Теперь произведем вычисления:

$P(A \cap B) = \frac{6}{24} + \frac{16}{24} - \frac{15}{24} = \frac{6 + 16 - 15}{24} = \frac{22 - 15}{24} = \frac{7}{24}$

Ответ: $P(A \cap B) = \frac{7}{24}$

2. Найдите отношение суммы чисел, стоящих в 17-й строке треугольника Паскаля, к сумме чисел, стоящей в его 13-й строке.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля. Сумма всех чисел, расположенных в n-й строке треугольника Паскаля, равна $2^n$. В стандартной нумерации самая верхняя строка, содержащая одну единицу, считается нулевой (n=0).

Таким образом, сумма чисел, стоящих в 17-й строке (при n=17), равна:

$S_{17} = 2^{17}$

Аналогично, сумма чисел, стоящих в 13-й строке (при n=13), равна:

$S_{13} = 2^{13}$

Искомое отношение — это частное от деления суммы чисел 17-й строки на сумму чисел 13-й строки:

$\frac{S_{17}}{S_{13}} = \frac{2^{17}}{2^{13}}$

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем:

$\frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4$

Осталось вычислить результат:

$2^4 = 16$

Ответ: 16

3. В некоторой школе вероятность того, что наугад выбранный ученик посещает математический кружок, равна $20\%$, а вероятность того, что наугад выбранный ученик посещает физический кружок, равна $10\%$. Известно, что среди учеников, посещающих математический кружок, $15\%$ посещают физический кружок. Найдите вероятность того, что наугад выбранный участник физического кружка посещает математический.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

Событие М – случайно выбранный ученик посещает математический кружок.

Событие Ф – случайно выбранный ученик посещает физический кружок.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что ученик посещает математический кружок: $P(М) = 20\% = 0.2$.
• Вероятность того, что ученик посещает физический кружок: $P(Ф) = 10\% = 0.1$.
• Вероятность того, что ученик посещает физический кружок, при условии, что он посещает математический кружок: $P(Ф|М) = 15\% = 0.15$.

Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный участник физического кружка посещает и математический. Это условная вероятность $P(М|Ф)$.

Формула условной вероятности выглядит так:

$P(М|Ф) = \frac{P(М \cap Ф)}{P(Ф)}$

где $P(М \cap Ф)$ – это вероятность того, что ученик посещает оба кружка одновременно.

Чтобы найти $P(М \cap Ф)$, воспользуемся известной нам условной вероятностью $P(Ф|М)$:

$P(Ф|М) = \frac{P(М \cap Ф)}{P(М)}$

Отсюда выразим вероятность пересечения событий:

$P(М \cap Ф) = P(Ф|М) \times P(М)$

Подставим известные значения:

$P(М \cap Ф) = 0.15 \times 0.2 = 0.03$

Теперь, когда мы знаем вероятность того, что ученик посещает оба кружка, мы можем найти искомую вероятность $P(М|Ф)$:

$P(М|Ф) = \frac{P(М \cap Ф)}{P(Ф)} = \frac{0.03}{0.1} = 0.3$

Таким образом, вероятность того, что участник физического кружка также посещает и математический, составляет 0.3 или 30%.

Ответ: 0.3

4. Найдите значение $P(z = -1)$ и дисперсию случайной величины $z$.

Значение $z$: -3, -1, 1, 4

Вероятность, %: 40, (пропущено), 10, 30

Найдите значение P(z = -1)

Сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной случайной величины равна 1 (или 100%). В таблице вероятности указаны в процентах. Исходя из этого, мы можем найти недостающую вероятность для $z = -1$.

Сумма известных вероятностей:

$P(z = -3) + P(z = 1) + P(z = 4) = 40\% + 10\% + 30\% = 80\%$

Чтобы общая сумма была равна 100%, вероятность $P(z = -1)$ должна быть:

$P(z = -1) = 100\% - 80\% = 20\%$

Ответ: $P(z = -1) = 20\%$.

Найдите дисперсию случайной величины z

Дисперсия случайной величины $z$ вычисляется по формуле: $D(z) = M(z^2) - [M(z)]^2$, где $M(z)$ — математическое ожидание $z$, а $M(z^2)$ — математическое ожидание квадрата $z$.

Для вычислений представим вероятности в виде десятичных дробей:

$P(z=-3) = 0.4$

$P(z=-1) = 0.2$

$P(z=1) = 0.1$

$P(z=4) = 0.3$

1. Найдем математическое ожидание $M(z)$:

$M(z) = \sum z_i \cdot p_i = (-3) \cdot 0.4 + (-1) \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.3$

$M(z) = -1.2 - 0.2 + 0.1 + 1.2 = -0.1$

2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(z^2)$:

$M(z^2) = \sum z_i^2 \cdot p_i = (-3)^2 \cdot 0.4 + (-1)^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.1 + 4^2 \cdot 0.3$

$M(z^2) = 9 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 16 \cdot 0.3 = 3.6 + 0.2 + 0.1 + 4.8 = 8.7$

3. Теперь вычислим дисперсию $D(z)$:

$D(z) = M(z^2) - [M(z)]^2 = 8.7 - (-0.1)^2 = 8.7 - 0.01 = 8.69$

Ответ: 8.69.

5. Баскетболист, выполняя штрафной бросок, попадает в корзину с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что в серии из пяти бросков он попадёт:

1) не менее трёх раз;

2) менее двух раз?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события $k$ раз в $n$ независимых испытаниях. Формула выглядит так:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где:
$n$ – общее число испытаний (бросков), в нашем случае $n=5$.
$k$ – число успешных исходов (попаданий).
$p$ – вероятность успеха в одном испытании (попадания), $p=0,7$.
$q$ – вероятность неудачи в одном испытании (промаха), $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

1) не менее трёх раз;
Это означает, что баскетболист попадёт 3, 4 или 5 раз. Мы должны найти сумму вероятностей этих событий.
$P(k \ge 3) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$
Рассчитаем каждую вероятность отдельно:
Вероятность попасть ровно 3 раза:
$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2 = \frac{120}{6 \cdot 2} \cdot 0,343 \cdot 0,09 = 10 \cdot 0,343 \cdot 0,09 = 0,3087$
Вероятность попасть ровно 4 раза:
$P_5(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^{5-4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^1 = 5 \cdot 0,2401 \cdot 0,3 = 0,36015$
Вероятность попасть ровно 5 раз:
$P_5(5) = C_5^5 \cdot p^5 \cdot q^{5-5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^0 = 1 \cdot 0,16807 \cdot 1 = 0,16807$
Теперь сложим полученные вероятности:
$P(k \ge 3) = 0,3087 + 0,36015 + 0,16807 = 0,83692$
Ответ: 0,83692

2) менее двух раз?
Это означает, что баскетболист попадёт 0 или 1 раз. Мы должны найти сумму вероятностей этих событий.
$P(k < 2) = P_5(0) + P_5(1)$
Рассчитаем каждую вероятность отдельно:
Вероятность не попасть ни разу (попасть 0 раз):
$P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^{5-0} = \frac{5!}{0!(5-0)!} \cdot (0,7)^0 \cdot (0,3)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,00243 = 0,00243$
Вероятность попасть ровно 1 раз:
$P_5(1) = C_5^1 \cdot p^1 \cdot q^{5-1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} \cdot (0,7)^1 \cdot (0,3)^4 = 5 \cdot 0,7 \cdot 0,0081 = 0,02835$
Теперь сложим полученные вероятности:
$P(k < 2) = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078$
Ответ: 0,03078