Страница 59 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Найдите область определения функции $y = \frac{8}{\log_3(x-6)}$.

1.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции $y = \frac{8}{\log_3(x-6)}$ необходимо учесть два условия:

1. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} x - 6 > 0 \\ \log_3(x - 6) \neq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x - 6 > 0$

$x > 6$

Теперь решим второе условие. Логарифм равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1. Следовательно:

$\log_3(x - 6) \neq 0$

$x - 6 \neq 3^0$

$x - 6 \neq 1$

$x \neq 7$

Объединим полученные результаты. Область определения функции состоит из всех чисел $x$, которые больше 6, за исключением числа 7.

Это можно записать в виде объединения двух интервалов: $(6; 7) \cup (7; +\infty)$.

Ответ: $(6; 7) \cup (7; +\infty)$.

2. Решите уравнение:

1) $\log_8(3x + 4) = \log_8(x^2 - 4x - 14)$;

2) $\lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2$.

1)

Дано уравнение: $ \log_{8}(3x + 4) = \log_{8}(x^2 - 4x - 14) $.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы. Однако необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), так как аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Система уравнений и неравенств будет выглядеть так:

$ \begin{cases} 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 \\ 3x + 4 > 0 \\ x^2 - 4x - 14 > 0 \end{cases} $

Так как мы приравниваем выражения $ 3x + 4 $ и $ x^2 - 4x - 14 $, достаточно проверить только одно из неравенств. Выберем более простое:

$ 3x + 4 > 0 $

$ 3x > -4 $

$ x > -\frac{4}{3} $

Теперь решим уравнение:

$ 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 4x - 3x - 14 - 4 = 0 $

$ x^2 - 7x - 18 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ $ x > -\frac{4}{3} $.

Для $ x_1 = 9 $: $ 9 > -\frac{4}{3} $. Это верно, следовательно, $ x = 9 $ является корнем уравнения.

Для $ x_2 = -2 $: $ -2 > -\frac{4}{3} $ (или $ -2 > -1.33... $). Это неверно, следовательно, $ x = -2 $ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ 9 $

2)

Дано уравнение: $ \lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2 $.

Здесь $ \lg $ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$ \begin{cases} (2x - 3)^2 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства следует, что $ 2x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{3}{2} $.

Из второго неравенства следует, что $ 3x > 2 $, то есть $ x > \frac{2}{3} $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) $.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $ n \log_a b = \log_a b^n $ и $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:

$ \lg(2x - 3)^2 - \lg((3x - 2)^2) = 2 $

$ \lg\left(\frac{(2x - 3)^2}{(3x - 2)^2}\right) = 2 $

$ \lg\left(\left(\frac{2x - 3}{3x - 2}\right)^2\right) = 2 $

По определению десятичного логарифма, если $ \lg A = B $, то $ A = 10^B $.

$ \left(\frac{2x - 3}{3x - 2}\right)^2 = 10^2 $

$ \left(\frac{2x - 3}{3x - 2}\right)^2 = 100 $

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: $ \frac{2x - 3}{3x - 2} = 10 $

$ 2x - 3 = 10(3x - 2) $

$ 2x - 3 = 30x - 20 $

$ 20 - 3 = 30x - 2x $

$ 17 = 28x $

$ x_1 = \frac{17}{28} $

Случай 2: $ \frac{2x - 3}{3x - 2} = -10 $

$ 2x - 3 = -10(3x - 2) $

$ 2x - 3 = -30x + 20 $

$ 2x + 30x = 20 + 3 $

$ 32x = 23 $

$ x_2 = \frac{23}{32} $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x > \frac{2}{3} $).

Для $ x_1 = \frac{17}{28} $: Сравним $ \frac{17}{28} $ и $ \frac{2}{3} $. Приведем к общему знаменателю 84: $ \frac{17 \cdot 3}{84} = \frac{51}{84} $ и $ \frac{2 \cdot 28}{84} = \frac{56}{84} $. Так как $ \frac{51}{84} < \frac{56}{84} $, то $ \frac{17}{28} < \frac{2}{3} $. Этот корень не входит в ОДЗ.

Для $ x_2 = \frac{23}{32} $: Сравним $ \frac{23}{32} $ и $ \frac{2}{3} $. Приведем к общему знаменателю 96: $ \frac{23 \cdot 3}{96} = \frac{69}{96} $ и $ \frac{2 \cdot 32}{96} = \frac{64}{96} $. Так как $ \frac{69}{96} > \frac{64}{96} $, то $ \frac{23}{32} > \frac{2}{3} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ (также очевидно, что $ \frac{23}{32} \neq \frac{3}{2} $).

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ \frac{23}{32} $

3. Решите неравенство $\log_{\frac{2}{3}}(6-x) \le \log_{\frac{2}{3}}(x+1).$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо найти его область допустимых значений (ОДЗ) и затем решить само неравенство, учитывая свойства логарифмической функции.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x + 1 > 0\end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

$6 - x > 0 \implies -x > -6 \implies x < 6$

$x + 1 > 0 \implies x > -1$

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $-1 < x < 6$, что в виде интервала записывается как $x \in (-1; 6)$.

2. Решим основное неравенство

Исходное неравенство: $\log_{\frac{2}{3}}(6 - x) \le \log_{\frac{2}{3}}(x + 1)$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Поскольку основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$ (так как $0 < \frac{2}{3} < 1$), логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$6 - x \ge x + 1$

Теперь решим это линейное неравенство:

$6 - 1 \ge x + x$

$5 \ge 2x$

$2.5 \ge x$, или $x \le 2.5$

3. Определим итоговое решение

Итоговое решение является пересечением найденной области допустимых значений и решения самого неравенства. Мы должны найти значения $x$, которые удовлетворяют системе:

$\begin{cases} -1 < x < 6 \\ x \le 2.5\end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является промежуток от $-1$ (не включая) до $2.5$ (включая).

Ответ: $(-1; 2.5]$

4. Вычислите значение выражения $\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9}$.

4.

Для вычисления значения данного выражения необходимо поочередно упростить числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов.

1. Упростим числитель: $\log_8 128 - \log_8 2$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_8 128 - \log_8 2 = \log_8 \frac{128}{2} = \log_8 64$.

По определению логарифма, $\log_8 64$ — это степень, в которую нужно возвести 8, чтобы получить 64. Так как $8^2 = 64$, то $\log_8 64 = 2$.

Итак, значение числителя равно 2.

2. Упростим знаменатель: $2\log_6 2 + \log_6 9$.

Сначала применим свойство степени логарифма: $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$.

$2\log_6 2 = \log_6 2^2 = \log_6 4$.

Теперь выражение в знаменателе выглядит так: $\log_6 4 + \log_6 9$.

Далее воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36$.

По определению логарифма, $\log_6 36$ — это степень, в которую нужно возвести 6, чтобы получить 36. Так как $6^2 = 36$, то $\log_6 36 = 2$.

Итак, значение знаменателя равно 2.

3. Найдем значение исходного выражения, подставив вычисленные значения числителя и знаменателя:

$\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

5. Решите уравнение:

1) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3;$

2) $\lg (2x - 3)^2 - 2\lg (3x - 2) = 2.$

1) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Таким образом, $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

Тогда $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$. Подставим это в исходное уравнение:

$2\log_3 x = 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$2y = \frac{2}{y} + 3$

Умножим обе части уравнения на $y$, при условии что $y \neq 0$ (что соответствует $x \neq 1$ из ОДЗ):

$2y^2 = 2 + 3y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $y = 2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x = 3^2 = 9$.

2. Если $y = -1/2$, то $\log_3 x = -1/2$, откуда $x = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Оба корня ($9$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Ответ: $9; \frac{\sqrt{3}}{3}$

2) $\lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} (2x - 3)^2 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $2x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$.

Из второго неравенства следует, что $3x > 2$, то есть $x > \frac{2}{3}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$.

Используем свойства логарифмов: $\log_b a^n = n \log_b a$ и $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$. Важно помнить, что $\lg(2x - 3)^2 = 2\lg|2x-3|$.

Уравнение можно переписать так:

$2\lg|2x - 3| - 2\lg(3x - 2) = 2$

Разделим обе части на 2:

$\lg|2x - 3| - \lg(3x - 2) = 1$

$\lg\left(\frac{|2x - 3|}{3x - 2}\right) = 1$

По определению десятичного логарифма ($\lg a = \log_{10} a$):

$\frac{|2x - 3|}{3x - 2} = 10^1 = 10$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $2x - 3 > 0$, то есть $x > \frac{3}{2}$.

$\frac{2x - 3}{3x - 2} = 10$

$2x - 3 = 10(3x - 2)$

$2x - 3 = 30x - 20$

$17 = 28x$

$x = \frac{17}{28}$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > \frac{3}{2}$ (так как $\frac{17}{28} < 1$, а $\frac{3}{2} = 1.5$), поэтому он является посторонним.

Случай 2: $2x - 3 < 0$, то есть $x < \frac{3}{2}$.

$\frac{-(2x - 3)}{3x - 2} = 10$

$\frac{3 - 2x}{3x - 2} = 10$

$3 - 2x = 10(3x - 2)$

$3 - 2x = 30x - 20$

$23 = 32x$

$x = \frac{23}{32}$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень условиям $x < \frac{3}{2}$ и ОДЗ $x > \frac{2}{3}$.

$\frac{2}{3} \approx 0.667$, $\frac{23}{32} \approx 0.719$, $\frac{3}{2} = 1.5$.

Так как $\frac{2}{3} < \frac{23}{32} < \frac{3}{2}$, корень $x = \frac{23}{32}$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $\frac{23}{32}$

6. Найдите множество решений неравенства

$\log^2_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}} x - 2 \ge 0$.

Данное неравенство является квадратным относительно $ \log_{\frac{1}{4}} x $.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$$ x > 0 $$

2. Введём замену переменной.

Пусть $ t = \log_{\frac{1}{4}} x $. Тогда исходное неравенство примет вид:

$$ t^2 + t - 2 \ge 0 $$

3. Решим квадратное неравенство.

Найдём корни уравнения $ t^2 + t - 2 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем:

$$ t_1 = -2, \quad t_2 = 1 $$

Графиком функции $ y = t^2 + t - 2 $ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $ t^2 + t - 2 \ge 0 $ выполняется, когда $ t $ находится за пределами корней, то есть:

$$ t \le -2 \quad \text{или} \quad t \ge 1 $$

4. Выполним обратную замену.

Получаем совокупность двух неравенств:

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \le -2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac{1}{4}} x \ge 1 $$

Решим каждое неравенство:

а) $ \log_{\frac{1}{4}} x \le -2 $

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \le \log_{\frac{1}{4}} \left(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\right) $$

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \le \log_{\frac{1}{4}} (16) $$

Так как основание логарифма $ \frac{1}{4} $ меньше 1 ($ 0 < \frac{1}{4} < 1 $), логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$ x \ge 16 $$

б) $ \log_{\frac{1}{4}} x \ge 1 $

Представим правую часть в виде логарифма:

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \ge \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right) $$

Так как основание логарифма $ \frac{1}{4} < 1 $, знак неравенства также меняется на противоположный:

$$ x \le \frac{1}{4} $$

5. Учтём ОДЗ.

Мы получили, что $ x \ge 16 $ или $ x \le \frac{1}{4} $. Совместим это решение с ОДЗ ($ x > 0 $).

Первое условие $ x \ge 16 $ удовлетворяет ОДЗ.

Второе условие $ x \le \frac{1}{4} $ с учётом ОДЗ даёт $ 0 < x \le \frac{1}{4} $.

Объединяя полученные результаты, находим итоговое множество решений.

Ответ: $ x \in (0; \frac{1}{4}] \cup [16; +\infty) $.

7. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \ln(2x + 3)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = \ln(2x + 3)$ и точка касания $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = \ln(2 \cdot (-1) + 3) = \ln(-2 + 3) = \ln(1) = 0$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1; 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\ln(2x + 3))' = \frac{1}{2x + 3} \cdot (2x + 3)' = \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 3}$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = \frac{2}{-2 + 3} = \frac{2}{1} = 2$

4. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 2(x - (-1))$

$y = 2(x + 1)$

$y = 2x + 2$

Ответ: $y = 2x + 2$

8. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\log_7(x - a) = \log_7(4 - x)$ имеет решения?

Исходное уравнение $log_7(x - a) = log_7(4 - x)$ имеет решения тогда и только тогда, когда существует значение $x$, удовлетворяющее как самому уравнению, так и области допустимых значений (ОДЗ) логарифмической функции.

Область допустимых значений определяется тем, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это задает систему неравенств:

$$\begin{cases}x - a > 0 \\4 - x > 0\end{cases}$$

Из этой системы следует, что $x$ должен находиться в интервале $(a, 4)$:

$$\begin{cases}x > a \\x < 4\end{cases}$$

Для существования такого $x$ необходимо, чтобы левая граница интервала была меньше правой, то есть $a < 4$.

Теперь решим само уравнение. Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$x - a = 4 - x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а остальные — в правую:

$x + x = 4 + a$

$2x = 4 + a$

Выразим $x$ через параметр $a$:

$x = \frac{4 + a}{2}$

Чтобы исходное уравнение имело решение, найденное значение $x$ должно принадлежать области допустимых значений, то есть удовлетворять системе неравенств $x > a$ и $x < 4$.

Подставим найденное выражение для $x$ в эти неравенства:

1) $\frac{4 + a}{2} > a$

Умножим обе части на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):

$4 + a > 2a$

$4 > 2a - a$

$4 > a$, что равносильно $a < 4$.

2) $\frac{4 + a}{2} < 4$

Умножим обе части на 2:

$4 + a < 8$

$a < 8 - 4$

$a < 4$.

Оба неравенства приводят к одному и тому же условию: $a < 4$. Это означает, что если $a < 4$, то корень уравнения $x = \frac{4 + a}{2}$ существует и удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a \in (-\infty; 4)$.