Номер 2, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $5 \cdot 3x - 4 \cdot 3x - 1 \ge 99;$

2) $2\log_{0.8}(-x) \ge \log_{0.8}(10x + 24).$

1) $5 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^{x-1} \ge 99$

Сначала преобразуем выражение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$5 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{3^x}{3^1} \ge 99$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \cdot (5 - \frac{4}{3}) \ge 99$

Выполним вычитание в скобках:

$5 - \frac{4}{3} = \frac{15}{3} - \frac{4}{3} = \frac{11}{3}$

Подставим полученное значение в неравенство:

$3^x \cdot \frac{11}{3} \ge 99$

Чтобы найти $3^x$, разделим обе части неравенства на $\frac{11}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь $\frac{3}{11}$.

$3^x \ge 99 \cdot \frac{3}{11}$

$3^x \ge \frac{99}{11} \cdot 3$

$3^x \ge 9 \cdot 3$

$3^x \ge 27$

Представим число 27 как степень с основанием 3:

$3^x \ge 3^3$

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x \ge 3$

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

2) $2\log_{0,8}(-x) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Решение этого логарифмического неравенства начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases} -x > 0 \\ 10x + 24 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ 10x > -24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x > -2,4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2,4; 0)$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Преобразуем левую часть, используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:

$\log_{0,8}((-x)^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

$\log_{0,8}(x^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Основание логарифма $0,8$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{0,8}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x^2 \le 10x + 24$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 10x - 24 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 10x - 24 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Графиком функции $y = x^2 - 10x - 24$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0$) на отрезке между корнями.

Следовательно, решение квадратного неравенства: $x \in [-2; 12]$.

На последнем шаге необходимо учесть ОДЗ, найденную ранее. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in [-2; 12] \\ x \in (-2,4; 0) \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[-2; 0)$.

Ответ: $x \in [-2; 0)$.