Номер 1, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 7^{\cos x}$.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 7^{\cos x}$, необходимо проанализировать ее структуру. Данная функция является сложной, состоящей из показательной функции $y = 7^t$ и тригонометрической функции $t = \cos x$, которая находится в показателе степени.

Первым шагом определим область значений показателя степени, то есть функции $t = \cos x$. Областью значений функции косинуса является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется следующее двойное неравенство:
$-1 \le \cos x \le 1$.

Вторым шагом рассмотрим свойства показательной функции $y = 7^t$. Основание этой функции равно 7, что больше 1. Показательная функция с основанием, большим единицы, является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Исходя из этого, наибольшее значение функции $y = 7^{\cos x}$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $\cos x$, а наименьшее значение — при наименьшем значении показателя $\cos x$.

Наибольшее значение показателя $\cos x$ равно 1. Подставим это значение в функцию, чтобы найти ее наибольшее значение:
$y_{наиб} = 7^1 = 7$.

Наименьшее значение показателя $\cos x$ равно -1. Подставим это значение в функцию, чтобы найти ее наименьшее значение:
$y_{наим} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Таким образом, мы определили, что область значений функции $y = 7^{\cos x}$ — это отрезок $[\frac{1}{7}, 7]$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 7, а наименьшее значение функции равно $\frac{1}{7}$.