Номер 3, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $ (5^x + 4)^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^x - 4; $

2) $ 2 \cdot 25^x - 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x; $

3) $ (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x = 6. $

1) Исходное уравнение $(5^x+4)^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}$, скорее всего, содержит опечатку, так как его решение в элементарных функциях затруднительно. Наиболее вероятной опечаткой является запись $5^x+4$ вместо $5^{x+4}$, так как это приводит к стандартному типу уравнений. Решим исправленный вариант уравнения: $5^{(x+4)(x-3)} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}$.

Преобразуем правую часть уравнения. Заменим $0,2$ на $\frac{1}{5}$ (или $5^{-1}$), а $25$ на $5^2$:
$0,2^x \cdot 25^{x-4} = (5^{-1})^x \cdot (5^2)^{x-4} = 5^{-x} \cdot 5^{2(x-4)} = 5^{-x} \cdot 5^{2x-8} = 5^{-x+2x-8} = 5^{x-8}$.

Теперь уравнение имеет вид:
$5^{(x+4)(x-3)} = 5^{x-8}$.

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$(x+4)(x-3) = x-8$.

Раскроем скобки в левой части и упростим выражение:
$x^2 - 3x + 4x - 12 = x-8$
$x^2 + x - 12 = x - 8$
$x^2 + x - x - 12 + 8 = 0$
$x^2 - 4 = 0$.

Решая это простое квадратное уравнение, получаем:
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Ответ: $2; -2$.

2) $2 \cdot 25^x - 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x$.

Перепишем уравнение, представив основания степеней через простые множители 2 и 5:
$2 \cdot (5^2)^x - 5 \cdot (2^2)^x = 3 \cdot (2 \cdot 5)^x$
$2 \cdot 5^{2x} - 5 \cdot 2^{2x} = 3 \cdot 2^x \cdot 5^x$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное показательное уравнение:
$2 \cdot 5^{2x} - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot 2^{2x} = 0$.

Разделим обе части уравнения на $2^{2x}$ (это выражение никогда не равно нулю):
$2 \cdot \frac{5^{2x}}{2^{2x}} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{2^{2x}} - 5 \cdot \frac{2^{2x}}{2^{2x}} = 0$
$2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 5 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной с $t = \frac{5}{2}$:
$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{5}{2}$.

Отсюда следует, что $x=1$.

Ответ: $1$.

3) $(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x = 6$.

Упростим подкоренные выражения, используя формулу полного квадрата $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
$3+2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2}+1)^2$.
$3-2\sqrt{2} = 2 + 1 - 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2}-1)^2$.

Тогда:
$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$
$\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$ (так как $\sqrt{2} > 1$).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$(\sqrt{2}+1)^x + (\sqrt{2}-1)^x = 6$.

Заметим, что основания степеней $(\sqrt{2}+1)$ и $(\sqrt{2}-1)$ являются взаимно обратными числами, так как их произведение равно $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1=1$.
Следовательно, $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = \left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^x = \frac{1}{t}$. Условие на замену: $t>0$.
Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = 6$.

Умножим обе части на $t$ (где $t \neq 0$):
$t^2 + 1 = 6t$
$t^2 - 6t + 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.
Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.
Корни $t = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.
Оба корня, $t_1 = 3+2\sqrt{2}$ и $t_2 = 3-2\sqrt{2}$, положительны.

Возвращаемся к замене и находим $x$ для каждого корня $t$.
1) $(\sqrt{2}+1)^x = 3+2\sqrt{2}$. Так как $3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2$, откуда $x=2$.
2) $(\sqrt{2}+1)^x = 3-2\sqrt{2}$. Так как $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $2; -2$.