Номер 4, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}$, график которой проходит через точку $A \left(\frac{\pi}{3}; -1\right)$.

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Чтобы найти общий вид первообразных для данной функции $f(x) = 4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$, нужно найти ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}) dx$

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$F(x) = \int 4\sin 4x dx + \int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} dx$

Вычислим каждый интеграл, используя табличные интегралы $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$ и $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

Для первого слагаемого ($k=4$):

$\int 4\sin 4x dx = 4 \cdot (-\frac{1}{4}\cos 4x) = -\cos 4x$

Для второго слагаемого ($k=\frac{1}{2}$):

$\int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2}$

Таким образом, общий вид первообразной функции:

$F(x) = -\cos 4x + \sin\frac{x}{2} + C$, где $C$ - константа интегрирования.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{3}; -1)$. Это значит, что при $x = \frac{\pi}{3}$ значение функции $F(x)$ равно $-1$, то есть $F(\frac{\pi}{3}) = -1$. Подставим эти значения в найденную формулу, чтобы определить константу $C$.

$-\cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}) + C = -1$

$-\cos(\frac{4\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{6}) + C = -1$

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим вычисленные значения в уравнение:

$-(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + C = -1$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C = -1$

$1 + C = -1$

$C = -1 - 1 = -2$

Теперь подставим найденное значение $C = -2$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\cos 4x + \sin\frac{x}{2} - 2$

Ответ: $F(x) = -\cos 4x + \sin\frac{x}{2} - 2$