Номер 1, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение:

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0;$

2) $\log_4(x + 3) + \log_4(x + 15) = 3;$

3) $\lg^2 100x - 7\lg x = 8;$

4) $\frac{2\log_5(-x)}{\log_5(-7 - 8x)} = 1.$

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0$

Это показательное уравнение. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 8t + 15 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $5^x = t_1 \Rightarrow 5^x = 3$. Отсюда, по определению логарифма, $x = \log_5 3$.

2. $5^x = t_2 \Rightarrow 5^x = 5$. Отсюда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \log_5 3$.

2) $\log_4(x + 3) + \log_4(x + 15) = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 15 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > -15 \end{cases} \Rightarrow x > -3$

Воспользуемся свойством логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_4((x + 3)(x + 15)) = 3$

По определению логарифма:

$(x + 3)(x + 15) = 4^3$

$x^2 + 15x + 3x + 45 = 64$

$x^2 + 18x + 45 - 64 = 0$

$x^2 + 18x - 19 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -18$

$x_1 \cdot x_2 = -19$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -19$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -3$):

$x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > -3$.

$x_2 = -19$ не удовлетворяет условию, так как $-19 < -3$.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $x = 1$.

3) $\lg^2(100x) - 7\lg x = 8$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} 100x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0$

Используем свойство логарифма произведения: $\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$.

Подставим это в уравнение:

$(2 + \lg x)^2 - 7\lg x = 8$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$.

$(2 + t)^2 - 7t = 8$

$4 + 4t + t^2 - 7t - 8 = 0$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = -4$

Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\lg x = t_1 \Rightarrow \lg x = 4$. Отсюда $x = 10^4 = 10000$.

2. $\lg x = t_2 \Rightarrow \lg x = -1$. Отсюда $x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10000, x_2 = 0.1$.

4) $\frac{2\log_5(-x)}{\log_5(-7-8x)} = 1$

Найдем ОДЗ:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$-x > 0 \Rightarrow x < 0$
$-7 - 8x > 0 \Rightarrow -8x > 7 \Rightarrow x < -7/8$

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$\log_5(-7 - 8x) \neq 0 \Rightarrow -7 - 8x \neq 5^0 \Rightarrow -7 - 8x \neq 1 \Rightarrow -8x \neq 8 \Rightarrow x \neq -1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < -7/8$ и $x \neq -1$.

Преобразуем уравнение:

$2\log_5(-x) = \log_5(-7 - 8x)$

Используем свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:

$\log_5((-x)^2) = \log_5(-7 - 8x)$

$\log_5(x^2) = \log_5(-7 - 8x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -7 - 8x$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = 7$

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < -7/8$ и $x \neq -1$):

$x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq -1$.

$x_2 = -7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-7 < -7/8$.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $x = -7$.