Номер 5, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $1 < |z - 2i| \leq 3$.

Данное условие $1 < |z - 2i| \leq 3$ определяет множество точек $z$ на комплексной плоскости.

Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$. В нашем случае $z_0 = 2i$, что соответствует точке с координатами $(0, 2)$ на комплексной плоскости (где горизонтальная ось — вещественная, а вертикальная — мнимая).

Таким образом, неравенство $1 < |z - 2i| \leq 3$ описывает все точки $z$, расстояние от которых до точки $2i$ больше 1, но не превышает 3.

Разобьем двойное неравенство на два условия:

1. $|z - 2i| \leq 3$. Это условие задает множество всех точек, расстояние от которых до $2i$ меньше или равно 3. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $2i$ и радиусом $R=3$. Граница круга (окружность) включается в множество, так как неравенство нестрогое ($\leq$).
2. $|z - 2i| > 1$. Это условие задает множество всех точек, расстояние от которых до $2i$ строго больше 1. Геометрически это область вне открытого круга с центром в точке $2i$ и радиусом $r=1$. Граница этого круга (окружность) не включается в множество, так как неравенство строгое ($>$).

Объединяя оба условия, мы получаем множество точек, которые находятся внутри или на границе окружности радиусом 3 и одновременно вне окружности радиусом 1. Обе окружности имеют общий центр в точке $2i$.

Такая фигура называется кольцом или аннулусом.

Алгебраически, если представить $z$ в виде $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, то:

$|z - 2i| = |x + iy - 2i| = |x + i(y-2)| = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}$

Тогда неравенство принимает вид:

$1 < \sqrt{x^2 + (y-2)^2} \leq 3$

Возводя все части в квадрат, получаем:

$1^2 < (\sqrt{x^2 + (y-2)^2})^2 \leq 3^2$

$1 < x^2 + (y-2)^2 \leq 9$

Это уравнение как раз и описывает кольцо с центром в точке $(0, 2)$, внутренним радиусом $r=1$ (граница не включена) и внешним радиусом $R=3$ (граница включена).

Изображение этого множества на комплексной плоскости:

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой кольцо с центром в точке $z_0=2i$. Внутренняя граница кольца — окружность $|z-2i|=1$ — не включается в множество (на рисунке изображена пунктирной линией). Внешняя граница — окружность $|z-2i|=3$ — включается в множество (на рисунке изображена сплошной линией).