Номер 6, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Изобразите на комплексной плоскости все числа, являющиеся корнями пятой степени из числа $z = -16\sqrt{3} + 16i$.

Для того чтобы найти и изобразить все корни пятой степени из комплексного числа $z = -16\sqrt{3} + 16i$, необходимо сначала представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

1. Нахождение модуля $r$ и аргумента $\varphi$.

Модуль комплексного числа $z = x + yi$ вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

В нашем случае $x = -16\sqrt{3}$ и $y = 16$.

$r = \sqrt{(-16\sqrt{3})^2 + 16^2} = \sqrt{256 \cdot 3 + 256} = \sqrt{256(3+1)} = \sqrt{256 \cdot 4} = \sqrt{1024} = 32$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-16\sqrt{3}}{32} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Так как $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$:

$z = 32 \left( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right)$.

2. Вычисление корней пятой степени.

Корни n-ой степени из комплексного числа вычисляются по формуле Муавра:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Для нашего случая $n=5$, $r=32$, $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

$w_k = \sqrt[5]{32} \left( \cos\left(\frac{\frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{5}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{5}\right) \right)$

$w_k = 2 \left( \cos\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{30}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{30}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

3. Изображение на комплексной плоскости.

Все пять корней лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[5]{r} = \sqrt[5]{32} = 2$. Они являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Найдем аргументы для каждой вершины:

• При $k=0$: $\arg(w_0) = \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$)
• При $k=1$: $\arg(w_1) = \frac{5\pi + 12\pi}{30} = \frac{17\pi}{30}$ (или $102^\circ$)
• При $k=2$: $\arg(w_2) = \frac{5\pi + 24\pi}{30} = \frac{29\pi}{30}$ (или $174^\circ$)
• При $k=3$: $\arg(w_3) = \frac{5\pi + 36\pi}{30} = \frac{41\pi}{30}$ (или $246^\circ$)
• При $k=4$: $\arg(w_4) = \frac{5\pi + 48\pi}{30} = \frac{53\pi}{30}$ (или $318^\circ$)

Таким образом, на комплексной плоскости нужно начертить окружность радиуса 2 с центром в точке (0,0). Затем на этой окружности отметить пять точек, являющихся вершинами правильного пятиугольника. Первая точка ($w_0$) находится под углом $30^\circ$ к положительному направлению действительной оси (оси Re). Каждая следующая точка получается из предыдущей поворотом на угол $\frac{2\pi}{5} = 72^\circ$ против часовой стрелки.

Ответ: Искомые числа на комплексной плоскости — это вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Аргумент первой вершины равен $\frac{\pi}{6}$, а аргументы остальных вершин получаются последовательным добавлением угла $\frac{2\pi}{5}$.