Номер 6, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x < 0, \\ 6x, & x \ge 0 \end{cases}$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $A \left( -\frac{3\pi}{2}; 1 \right).$

Для нахождения первообразной $F(x)$ для кусочно-заданной функции $f(x)$, необходимо найти первообразные для каждой ее части.

1. На интервале $x < 0$ функция задана как $f(x) = \sin x$.
Ее первообразная имеет вид: $F_1(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C_1$, где $C_1$ – константа интегрирования.

2. На интервале $x \ge 0$ функция задана как $f(x) = 6x$.
Ее первообразная имеет вид: $F_2(x) = \int 6x \,dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 3x^2 + C_2$, где $C_2$ – константа интегрирования.

Таким образом, общий вид первообразной $F(x)$ для всей числовой оси: $F(x) = \begin{cases} -\cos x + C_1, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2 + C_2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Первообразная по определению является непрерывной функцией. Следовательно, функция $F(x)$ должна быть непрерывна в точке $x=0$, где "стыкуются" две ее части. Условие непрерывности в этой точке означает, что предел функции слева равен ее значению справа (и в самой точке): $\lim_{x \to 0-} F(x) = F(0)$.

Найдем предел слева: $\lim_{x \to 0-} (-\cos x + C_1) = -\cos(0) + C_1 = -1 + C_1$.

Найдем значение функции в точке $x=0$: $F(0) = 3(0)^2 + C_2 = C_2$.

Приравнивая эти два выражения, получаем связь между константами $C_1$ и $C_2$: $-1 + C_1 = C_2$, или $C_1 = C_2 + 1$.

Теперь мы можем выразить $F(x)$ через одну константу, например $C_2$: $F(x) = \begin{cases} -\cos x + C_2 + 1, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2 + C_2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $A\left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right)$. Это означает, что $F\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 1$. Поскольку координата $x = -\frac{3\pi}{2} < 0$, для нахождения значения функции мы используем первую формулу: $F\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + C_2 + 1 = 1$.

Вычислим значение косинуса: $\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$. Подставим это значение в уравнение: $-0 + C_2 + 1 = 1$
$C_2 + 1 = 1$
$C_2 = 0$.

Зная $C_2$, найдем $C_1$: $C_1 = C_2 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Подставим найденные значения констант $C_1=1$ и $C_2=0$ в общее выражение для $F(x)$: $F(x) = \begin{cases} -\cos x + 1, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2 + 0, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Итак, искомая первообразная: $F(x) = \begin{cases} 1 - \cos x, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $F(x) = \begin{cases} 1 - \cos x, & x < 0 \\ 3x^2, & x \ge 0 \end{cases}$