Номер 3, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$, первым шагом является нахождение точек пересечения этих графиков, которые определят пределы интегрирования. Для этого приравниваем выражения для $y$:

$x^2 + 1 = x + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корнями этого уравнения являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это и будут наши пределы интегрирования, от $a = -1$ до $b = 2$.

Далее необходимо определить, какая из функций находится выше на интервале $[-1, 2]$. Для этого можно взять любую точку из этого интервала, например, $x=0$, и подставить в оба уравнения:

Для $y = x^2 + 1$: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$.
Для $y = x + 3$: $y(0) = 0 + 3 = 3$.

Так как $3 > 1$, график прямой $y = x + 3$ расположен выше графика параболы $y = x^2 + 1$ на всем промежутке от $-1$ до $2$.

Площадь фигуры (S) вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{-1}^{2} \left( (x + 3) - (x^2 + 1) \right) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{-1}^{2} (x + 3 - x^2 - 1) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 + x + 2) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = F(2) - F(-1) = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)$

$S = \frac{18-8}{3} + \frac{7}{6} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6}$

Сократим дробь:

$S = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$.