Номер 1, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x} dx;$

2) $\int_{0}^{6} \left(x + \frac{5}{\sqrt{0,5x + 1}}\right) dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} \sin 3x \sin x dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x} dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:
$\frac{2x^2 + x - 3}{x} = \frac{2x^2}{x} + \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = 2x + 1 - \frac{3}{x}$
Теперь найдем первообразную для полученного выражения: $\int (2x + 1 - \frac{3}{x}) dx = x^2 + x - 3\ln|x|$
Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$\int_{-4}^{-1} (2x + 1 - \frac{3}{x}) dx = (x^2 + x - 3\ln|x|) \Big|_{-4}^{-1}$
Подставим пределы интегрирования:
$F(-1) - F(-4) = ((-1)^2 + (-1) - 3\ln|-1|) - ((-4)^2 + (-4) - 3\ln|-4|)$
$= (1 - 1 - 3\ln(1)) - (16 - 4 - 3\ln(4))$
$= (0 - 3 \cdot 0) - (12 - 3\ln(4)) = 0 - (12 - 3\ln(4)) = -12 + 3\ln(4)$

Ответ: $-12 + 3\ln(4)$

2) Интеграл $\int_{0}^{6} (x + \frac{5}{\sqrt{0.5x + 1}}) dx$ можно представить в виде суммы двух интегралов:
$\int_{0}^{6} x dx + \int_{0}^{6} \frac{5}{\sqrt{0.5x + 1}} dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{0}^{6} x dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{6} = \frac{6^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{36}{2} - 0 = 18$
Для вычисления второго интеграла $5 \int_{0}^{6} (0.5x + 1)^{-1/2} dx$ найдем его первообразную:
$\int 5(0.5x + 1)^{-1/2} dx = 5 \cdot \frac{(0.5x + 1)^{1/2}}{0.5 \cdot (1/2)} + C = 5 \cdot \frac{\sqrt{0.5x + 1}}{0.25} + C = 20\sqrt{0.5x + 1} + C$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$5 \int_{0}^{6} (0.5x + 1)^{-1/2} dx = 20\sqrt{0.5x + 1} \Big|_{0}^{6}$
$= 20\sqrt{0.5 \cdot 6 + 1} - 20\sqrt{0.5 \cdot 0 + 1} = 20\sqrt{3+1} - 20\sqrt{1} = 20\sqrt{4} - 20 = 20 \cdot 2 - 20 = 40 - 20 = 20$
Сложим результаты вычислений двух интегралов:
$18 + 20 = 38$

Ответ: $38$

3) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} \sin(3x)\sin(x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$
Применим эту формулу к подынтегральному выражению, где $A=3x$ и $B=x$:
$\sin(3x)\sin(x) = \frac{1}{2}(\cos(3x-x) - \cos(3x+x)) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x))$
Теперь интеграл принимает вид:
$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} (\cos(2x) - \cos(4x)) dx$
Найдем первообразную для выражения в скобках:
$\int (\cos(2x) - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x)$
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}}$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2}\sin(2\frac{5\pi}{12}) - \frac{1}{4}\sin(4\frac{5\pi}{12}) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(2\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{4}\sin(4\frac{\pi}{12}) \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{4}\sin(\frac{5\pi}{3}) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{3}) \right) \right]$
Подставим табличные значения синусов: $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \left( \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2\sqrt{3}}{8} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$