Номер 3, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Найдите значение выражения $z^8$, если

$z = -\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{32}\right) + i\sin\frac{3\pi}{32}\right)$.

Для того чтобы найти значение выражения $z^8$, сначала преобразуем данное комплексное число $z$.

Исходное выражение для $z$:

$z = -(\cos(-\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})$

Возведем это выражение в 8-ю степень:

$z^8 = \left[-(\cos(-\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right]^8$

Используя свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$z^8 = (-1)^8 \cdot \left(\cos(-\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right)^8$

Так как $(-1)^8 = 1$, а функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, мы можем упростить выражение:

$z^8 = 1 \cdot \left(\cos(\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right)^8 = \left(\cos(\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right)^8$

Теперь комплексное число в скобках представлено в тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$ с модулем $r=1$ и аргументом $\phi = \frac{3\pi}{32}$. Для возведения его в степень $n=8$ воспользуемся формулой Муавра:

$(\cos\phi + i\sin\phi)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$

Применяя эту формулу, получаем:

$z^8 = \cos(8 \cdot \frac{3\pi}{32}) + i\sin(8 \cdot \frac{3\pi}{32})$

Вычислим новый аргумент:

$8 \cdot \frac{3\pi}{32} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$

Таким образом, выражение для $z^8$ принимает вид:

$z^8 = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})$

Теперь найдем числовые значения косинуса и синуса для угла $\frac{3\pi}{4}$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляя эти значения, получаем окончательный результат:

$z^8 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$