Номер 3, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Показательные неравенства

Решите неравенство:

1) $ \left(\frac{5}{6}\right)^{x^2} \ge \left(\frac{6}{5}\right)^{4x-5} $

2) $ 2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} \le 5 $

3) $ 36^x + 0,5 \cdot 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0 $

4) $ 8 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0 $

5) $ \frac{0,3^x - 0,0081}{7 - x} \ge 0 $

6) $ (3^x - 1)\sqrt{x + 2} \ge 0 $

1) $(\frac{5}{6})^{x^2} > (\frac{6}{5})^{4x-5}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{5}{6}$, используя свойство $\frac{a}{b} = (\frac{b}{a})^{-1}$.

$(\frac{5}{6})^{x^2} > ((\frac{5}{6})^{-1})^{4x-5}$

$(\frac{5}{6})^{x^2} > (\frac{5}{6})^{5-4x}$

Так как основание степени $a = \frac{5}{6}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 < 5 - 4x$

$x^2 + 4x - 5 < 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решением является интервал $(-5; 1)$.

Ответ: $x \in (-5; 1)$

2) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} \le 5$

Используем свойства степеней, чтобы вынести общий множитель $2^x$ за скобки.

$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} \le 5$

$2^x (4 - 2 + \frac{1}{2}) \le 5$

$2^x (2 + \frac{1}{2}) \le 5$

$2^x \cdot \frac{5}{2} \le 5$

Разделим обе части неравенства на $\frac{5}{2}$:

$2^x \le 5 \cdot \frac{2}{5}$

$2^x \le 2$

$2^x \le 2^1$

Так как основание степени $a = 2 > 1$, показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$

3) $36^{x+0,5} - 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

Приведем все степени к основанию 6.

$(6^2)^{x+0,5} - 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

$6^{2(x+0,5)} - 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

$6^{2x+1} - 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

$6 \cdot 6^{2x} - 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

$6 \cdot (6^x)^2 - 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как $6^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$6t^2 - 5t - 1 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $6t^2 - 5t - 1 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{5 - 7}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$

$t_2 = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Решением неравенства $6t^2 - 5t - 1 \ge 0$ является $t \in (-\infty; -\frac{1}{6}] \cup [1; +\infty)$.

Возвращаемся к замене, учитывая условие $t > 0$:

1) $6^x \le -\frac{1}{6}$. Это неравенство не имеет решений, так как $6^x$ всегда положительно.

2) $6^x \ge 1$. Представим 1 как $6^0$.

$6^x \ge 6^0$

Так как основание $6 > 1$, то $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

4) $8 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$

Перепишем неравенство в виде $8 \cdot (0,5^x)^2 - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,5^x$. Учитывая, что $0,5^x > 0$, получаем $t > 0$.

$8t^2 - 17t + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$.

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

$t_1 = \frac{17 - 15}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$t_2 = \frac{17 + 15}{16} = \frac{32}{16} = 2$

Решением квадратного неравенства является отрезок $[\frac{1}{8}; 2]$.

Возвращаемся к замене:

$\frac{1}{8} \le 0,5^x \le 2$

Представим все числа в виде степени с основанием 0,5: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = 0,5^3$, $2 = (\frac{1}{2})^{-1} = 0,5^{-1}$.

$0,5^3 \le 0,5^x \le 0,5^{-1}$

Так как основание $0,5 \in (0; 1)$, показательная функция убывающая. При переходе к показателям знаки неравенств меняются на противоположные.

$3 \ge x \ge -1$

Запишем в стандартном виде: $-1 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-1; 3]$

5) $\frac{0,3^x - 0,0081}{7-x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $0,3^x - 0,0081 = 0$

$0,3^x = 0,0081$

$0,3^x = (0,3)^4$

$x = 4$

Нуль знаменателя: $7-x = 0$

$x = 7$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 7$.

Отметим точки $x=4$ (закрашенная) и $x=7$ (выколотая) на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах.

Пусть $f(x) = \frac{0,3^x - 0,0081}{7-x}$.

При $x < 4$ (например, $x=0$): $f(0) = \frac{0,3^0 - 0,0081}{7-0} = \frac{1-0,0081}{7} > 0$.

При $4 < x < 7$ (например, $x=5$): $f(5) = \frac{0,3^5 - 0,0081}{7-5} = \frac{0,00243 - 0,0081}{2} < 0$.

При $x > 7$ (например, $x=8$): $f(8) = \frac{0,3^8 - 0,0081}{7-8} = \frac{\text{положительное число} - 0,0081}{-1} = \frac{\text{отрицательное}}{-1} > 0$.

Нас интересуют промежутки, где $f(x) \ge 0$. Это $(-\infty; 4]$ и $(7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4] \cup (7; +\infty)$

6) $(3^x - 1)\sqrt{x+2} \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Произведение двух множителей неотрицательно. Множитель $\sqrt{x+2}$ всегда неотрицателен в своей области определения.

Рассмотрим два случая:

1) $\sqrt{x+2} = 0$. Это происходит при $x = -2$. Подставив $x=-2$ в исходное неравенство, получим $(3^{-2}-1)\sqrt{-2+2} = 0$, что удовлетворяет условию $0 \ge 0$. Значит, $x=-2$ является решением.

2) $\sqrt{x+2} > 0$. Это происходит при $x > -2$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительный множитель $\sqrt{x+2}$ без изменения знака.

$3^x - 1 \ge 0$

$3^x \ge 1$

$3^x \ge 3^0$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому $x \ge 0$.

Объединим решения из двух случаев: $x = -2$ и $x \ge 0$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [0; +\infty)$